Gruppo di Tarski - gruppo modulare

[ti2012]

Martino, non so se non ho capito bene, io non intendevo sapere perchè si tratta di un reticolo (concordo perfettamente con la tua spiegazione del perchè si tratta di un reticolo ) ma mi chiedevo perchè non contiene quei particolari sottoreticoli...
Chiedo scusa, sul materiale di studio c'è scritto che il gruppo di Tarski fa parte dei gruppi periodici modulari.. Perchè il gruppo di Tarski risulta periodico? Dalla definizione di gruppo di Tarski forse possiamo dire che i suoi sottogruppi propri non banali che hanno ordine primo sono periodici... Cosa ci assicura che tutto il gruppo di Tarski sia periodico?

[otta96]

Cosa vuol dire che un gruppo è periodico?

[ti2012]

Un gruppo è periodico se ogni suo elemento è periodico ossia se il sottogruppo generato da tale elemento è finito

[Martino]

Se hai in testa come è fatto il reticolo del gruppo ti dovrebbe risultare chiaro che il sup di due elementi qualsiasi (diversi da 1) è uguale a G e il loro inf è uguale a {1}. Con queste informazioni verificare che il reticolo è modulare è immediato usando la definizione di reticolo modulare (clic). Chiaro che dovrai distinguere due o tre casi ma è elementare.

[otta96]

Beh, allora basta far vedere che ogni elemento ha ordine finito, prendo un elemento, considero il sottogruppo generato, se fosse proprio sarebbe di ordine primo, quindi va bene, se non fosse proprio il gruppo sarebbe (isomorfo a) $ZZ$, che non è di Tarski, quindi i gruppi di Tarski sono ciclici.
Va bene?

[otta96]

Se hai in testa come è fatto il reticolo del gruppo ti dovrebbe risultare chiaro che il sup di due elementi qualsiasi (diversi da 1) è uguale a G e il loro inf è uguale a {1}. Con queste informazioni verificare che il reticolo è modulare è immediato usando la definizione di reticolo modulare (clic). Chiaro che dovrai distinguere due o tre casi ma è elementare.

Io stavo ragionando in termini del diagramma di Hasse e quei due teoremi che dicono "$L$ è modulare sse non contiene $N_5$" e "$L$ è distributivo sse non contiene $N_5$ o $M_3$", il problema è che nella mia testa avevo scambiato $N_5$ con $M_3$, ma ora è chiaro cosa stavi dicendo, visto che ci sono faccio notare che quello che stavo dicendo io è che se il gruppo ha almeno tre sottogruppi propri, allora non è distributivo.

[ti2012]

Grazie. Sì, sì, avevo in mente ciò per quanto riguarda la modularità.. Il mio dubbio era di dimostrare provando che il reticolo dei sottogruppi non contenesse sottoreticoli pentagonali