Equazione di cui si cercano soluzioni intere

[Raff_321]

Devo risolvere la seguente equazione per x,y interi:
$ x^2007=y^x $
Per cui ho trovato intuitivamente le soluzioni (-1,-1), (1,1), ,(2007,2007). Ora si tratta di trovarne altre oppure dimostrare che non ne esistono di altre, ed avevo pensato di utilizzare il metodo delle congruenze, ma non so quale modulo impostare né se questa è la strada giusta. Potreste aiutarmi? Vi ringrazio in anticipo.

[dan95]

Dividiamo due casi:

1) $(x,2007)=1$

Essendo $x$ e $2007$ coprimi la relazione $x^{2007}=y^x$ suggerisce che esistono $m,n$ naturali tali che $x=m^x$ e $y=n^{2007}$. Tuttavia $m^x>x$ per ogni $m \geq 2$ quindi necessariamente $m=1$ affinché valga $m^x=x$, da qui le soluzioni $(1,1)$ e $(-1,-1)$.

2) $(x,2007) \ne 1$

Chiamiamo $D=(x,2007)$ e siano $a,b$ tali che $2007=aD$ e $x=bD$ con $(a,b)=1$, allora $x^{aD}=y^{bD}$ cioè

$$x^a=y^b$$

inoltre, essendo $a$ e $b$ coprimi esistono $s$ e $t$ tali che $x=s^b$ e $y=t^a$, d'altra parte $s^{ba}=t^{ab}$ quindi $s=t$, ovvero $x=s^b$ e $y=s^a$, dalla relazione $x^{2007}=s^{b2007}=s^{ax}=y^x$ deduciamo che $b2007=ax=as^b$. Ora, $b\frac{2007}{a}$ è una potenza $b$-esima, dunque se esiste $p$ primo che divide $b$ e non divide $2007$ allora $b \geq p^b$ che non vale per nessun $p$ primo, quindi necessariamente se $p|b$ allora $p|2007$. A questo punto se consideriamo la fattorizzazione $2007=3^2 \cdot 223$ deduciamo che $b \geq 3^{b-2}$ che vale solo per $b=1,2,3$, per quanto detto prima $2$ non può essere allora supponiamo che $b=3$ da cui necessariamente $a=223$, dunque $s=3$ ovvero $x=3^3$ e $y=3^223$ che è soluzione. Infine, abbiamo $b=1$ cioè $x|2007$ allora le soluzioni sono del tipo $x=\frac{2007}{k}$ e $y=x^k$ con $k|2007$.

[Raff_321]

Ciao Dan, grazie mille per la risposta! Ho trovato questo esercizio fra dispense delle olimpiadi dove non viene trattato il teorema di Fermat. Nonostante abbia letto l'enunciato e la generalizzazione non so lavorarci per nulla e credo che non sia ammesso il suo utilizzo... Però non so neanche se esista un altro metodo non essendo particolarmente pratico di questo tipo di equazioni. Grazie per la pazienza!

[dan95]

Sì esiste un altro metodo senza Fermat più lungo, quando ho tempo te lo scrivo

[orsoulx]

Si ricava $ y=x^(2007/x) $ da cui sei soluzioni 'ordinarie' con $ x $ uguale ad un divisore di $ 2007= 3^2 cdot 223 $ ed altre due 'speciali' con $ x=-1 $ ( $ 1 $ è l'unico intero positivo ad avere un reciproco intero) e $ x=27=3^3 $.

e credo che non sia ammesso il suo utilizzo..

Se non sono cambiate le regole negli ultimi 10 anni, nelle olimpiadi di matematica viene accettata qualsiasi soluzione ottenuta con metodi corretti; il piccolo teorema di Fermat compare sicuramente nella cassetta degli attrezzi consigliati per affrontare le finali nazionali o internazionali.
Ciao

[dan95]

Oddio la mia è po' più lunghetta ora la metto nel commento precedente(precedente)

[orsoulx]

Oddio la mia è po' più lunghetta...

Non penso che le soluzioni si misurano in $ m^(-1) $ e nella mia non compare alcuna dimostrazione.
Ciao

[Raff_321]

Grazie mille a tutti