Sottogruppo di un sottogruppo normale

[Martino]

Esatto, la classe di coniugio.

No non ha ordine 11211200. In generale \( \displaystyle \langle X \rangle \) ha molti più elementi di X. Ma non ti serve calcolare |G|. Devi solo dire se G è un sottogruppo normale di A15.

Come dicevi la risposta è no perché non è nemmeno un sottogruppo di A15. Infatti $sigma$ non appartiene a A15. Questo risponde alla domanda, non serve altro.

[milos144]

Grazie Martino per la pazienza, ho un dubbio ma la classe di coniugio di $(1,2,3)(5,6,7)(8,9,10)$, lo so che non mi serve saperlo,
non é uguale a $15!/(3^3*3!*1^6*6!)$
e poi perché dici che $(1,2,3)(5,6,7)(8,9,10)$ non appartiene a$ A_15$ É pari.
Se ti riferivi al primo post dove parlavo di $(1,2,3,4)(5,6,7)(8,9,10) $ allora si....é dispari e non
appartiene a $A_15$
Rifletteró,
alla fine se fisso $σ=(1,2,3)(5,6,7)(8,9,10)$ secondo me con $G=⟨γσγ−1, γ∈S15⟩$ trovo un insieme
di permutazioni pari che appartengono a $A_15$ privo dell'identitá e arrivo alla conclusione.

[Martino]

Grazie Martino per la pazienza, ho un dubbio ma la classe di coniugio di $(1,2,3)(5,6,7)(8,9,10)$, lo so che non mi serve saperlo,
non é uguale a $(15!)/(3^3*3!*1^6*6!)$

La classe di coniugio non può essere un numero. Vuoi dire la cardinalità della classe di coniugio? immagino che tu stia parlando della classe di coniugio di $sigma = (1,2,3)(5,6,7)(8,9,10)$ in $S_{15}$ (osserva l'importanza di scrivere tutto con i dettagli). In tal caso sì il numero è quello (è l'indice del centralizzante).

e poi perché dici che $(1,2,3)(5,6,7)(8,9,10)$ non appartiene a$ A_15$ É pari.
Se ti riferivi al primo post dove parlavo di $(1,2,3,4)(5,6,7)(8,9,10) $ allora si....é dispari e non
appartiene a $A_15$

Sì mi riferivo al tuo primo intervento, questo:

considero il sottogruppo $G$ di$ S_15 :  G=<γσγ^−1,γ∈S15,σ=(1 2 3 4)(5 6 7)(8 9 10)>$ , e provo a dimostrare se si tratta o no di un sottogruppo normale di $A_15$.

Non mi ero accorto che avevi cambiato $sigma$, scusa

Rifletteró,
alla fine se fisso $σ=(1,2,3)(5,6,7)(8,9,10)$ secondo me con $G=⟨γσγ−1, γ∈S15⟩$ trovo un insieme
di permutazioni pari che appartengono a $A_15$ privo dell'identitá e arrivo alla conclusione.

La notazione \( \displaystyle G = \langle \gamma \sigma \gamma^{-1}\ :\ \gamma \in S_{15} \rangle \) significa: il sottogruppo di $S_{15}$ generato da \( \displaystyle X = \{\gamma \sigma \gamma^{-1}\ :\ \gamma \in S_{15}\} \) . Ora come hai detto l'insieme $X$ ha 11211200 elementi, ma purtroppo $G$ ha molti più elementi di $X$. Il gruppo $G$ è generato dall'insieme $X$. Significa che un elemento di $G$ è un prodotto di elementi di $X$ o di loro inversi. In particolare $X$ è un sottoinsieme di $G$ ma $X ne G$. Per mostrare che $G$ è normale in $A_{15}$ devi prendere un qualsiasi $g in G$, un qualsiasi $a in A_{15}$ e mostrare che $aga^{-1} in G$.

Ti dò un'indicazione: quel $G$ è davvero un sottogruppo normale di $A_{15}$. Prova a dimostrarlo.

[milos144]

Scusami Martino, ti chiedo le ultime delucidazioni su questo post:
per mostrare che $G$ è normale in $A_15$ devi prendere un qualsiasi $g∈G$, un qualsiasi $a∈A_15$ e mostrare che$ aga^−1∈G$.
Seguendo i tuoi consigli:
prendiamo un qualsiasi $a in A_15$ per esempio $ (3,2,1,4)(7,8,9)(5,10,12,6)$
e un qualsiasi $ g in G$ per esempio $ (5,6,7)(2,3,4)(10,9,1)$ avremo

$ (3,2,1,4)(7,8,9)(5,10,12,6)*(5,6,7)(2,3,4)(10,9,1)*( (5,6,7)(2,3,4)(10,9,1))^-1 = (1,2,3)(4,12,7)(5,8,10) in G$
Ma questo, non si dovrebbe ripetere per tutti gli $a in A_15$ e per tutti gli $ g in G$?
Nel nostro caso é quasi impossibile perché sia $G$ sia $A_15$ hanno una quantitá enorme di elementi.
Se io dicessi invece che $G$ é normale perché é l'unione di classi coniugio, per esempio la
$Co(e)$ + la $Co(sigma)$ é giusto?
Grazie

[Martino]

Nel nostro caso é quasi impossibile perché sia $G$ sia $A_15$ hanno una quantitá enorme di elementi.
Se io dicessi invece che $G$ é normale perché é l'unione di classi coniugio, per esempio la
$Co(e)$ + la $Co(sigma)$ é giusto?

No $G$ non è l'unione di quelle due classi di coniugio. Di nuovo, riguardati la definizione di sottogruppo generato da un insieme.

E non è che "è impossibile", è che stai pensando a $S_{15}$ come se fosse un gruppo di cui puoi elencare gli elementi (come facevi con $S_3$ e $S_4$).

Guarda non vedo altre strade se non quella di mostrarti la soluzione.

Dobbiamo mostrare che \( \displaystyle G=\langle X \rangle \) è normale in \( \displaystyle A_{15} \) , dove $X$ è quella classe di coniugio che hai detto.

Prendiamo quindi $g in G$ e $a in A_{15}$, dobbiamo mostrare che $aga^{-1} in G$.

Come facciamo? Ci ricordiamo che $G$ è generato da $X$. Quindi esistono $x_1, ..., x_n in X$ tali che $g=x_1 ... x_n$ (osserva che essendo $S_{15}$ finito gli inversi degli elementi di $X$ sono anche loro prodotti di elementi di $X$: se $x$ ha ordine $m$ allora $x^{-1}=x^{m-1}$).

Dobbiamo quindi mostrare che $a x_1 ... x_n a^{-1} in G$.

Come facciamo? Usiamo il solito trucco: $a x_1 ... x_n a^{-1} = a x_1 a^{-1} a x_2 a^{-1} a x_3 a^{-1} ... a x_n a^{-1}$. Ora questo è un prodotto di elementi $a x_i a^{-1}$ che appartengono a $X$ perché $x_i in X$ e $X$ è una classe di coniugio. Segue che $a g a^{-1}$ è un prodotto di elementi di $X$ quindi appartiene a \( \displaystyle \langle X \rangle = G \) . Fine.

[milos144]

Grazie mille Martino.
Ultima cosa riguardo al benedetto gruppo generato:
se io prendo in $S_3$ la $Co(12)={(12),(13),(23)}$ il gruppo generato da essa é ${e, (12), (13),(23, (132),(123))$
Lo posso considerare unione delle 3 classi di coniugio di $S_3$?

Ecco perché nel di $G=⟨γσγ^−1 : γ∈S15⟩ $ pensavo fosse una qualche unione di classi.
Ho letto pure, non so se vero, che un gruppo generato da una classe di coniugio é sempre normale.

[Martino]

se io prendo in $S_3$ la $Co(12)={(12),(13),(23)}$ il gruppo generato da essa é ${e, (12), (13),(23, (132),(123))$
Lo posso considerare unione delle 3 classi di coniugio di $S_3$?

Sì certo, ma come vedi non è l'unione di {e} con Co(12). Cioè non è l'unione di due classi, è l'unione di tre classi.

Ecco perché nel di $G=⟨γσγ^−1 : γ∈S15⟩ $ pensavo fosse una qualche unione di classi.

Lo è, ma non è l'unione di due classi.

Ho letto pure, non so se vero, che un gruppo generato da una classe di coniugio é sempre normale.

Sì certo che è vero, la dimostrazione te l'ho scritta sopra: se ci fai caso nel mio ultimo intervento quando ho mostrato che G è normale l'unica cosa che ho usato è che X è una classe di coniugio. Cioè non ho usato particolari proprietà di $S_{15}$.

Ancora più in generale, se ti ricordi ti ho scritto questo proprio all'inizio di questa discussione.

Ti propongo di dimostrare questo: Sia $G$ un gruppo e sia $X$ un sottoinsieme di $G$ con la proprietà che per ogni $x in X$ e per ogni $g in G$ si ha $gxg^{-1} in X$. Allora \( \displaystyle \langle X \rangle \) è un sottogruppo normale di $G$.

Nel tuo caso specifico ti svelo anche che $G$ è proprio uguale a $A_{15}$ (infatti $A_{15}$ è un gruppo semplice e $G$ è normale in $A_{15}$).

[milos144]

Avevo intuito che $G = A_15$.
Quindi $G$ é unione di tutte le classi di coniugio di $A_15$
Grazie Martino