Sottogruppo di un sottogruppo normale

[milos144]

Buongiorno, leggendo in giro ho trovato

considero il sottogruppo $G$ di$ S_15 :  G=<γσγ^−1,γ∈S15,σ=(1 2 3 4)(5 6 7)(8 9 10)>$ , e provo a dimostrare se si tratta o no di un sottogruppo normale di $A_15$.

La classe di coniugio di$ σ=(1 2 3 4)(5 6 7)(8 9 10)$  ha ordine $151351200$ mentre $oA_15=653837184000$
Ebbene $Co(1 2 3 4)(5 6 7)(8 9 10)$ é un sottogruppo di $A_15$, ma non é normale perché non é l'unione di classi di coniugio.

Provo a dare la mia risposta

la classe di coniugio non é mai un sottogruppo, quindi la classe di coniugio di$ σ=(1 2 3 4)(5 6 7)(8 9 10)$, avrá ordine $151351200$, ma non é un sottogruppo di $A_15$. Nota: la classe di coniugio é un sottogruppo normale solo se si parla della $Co(id)$

Riflessione mia:
se considero invece il sottogruppo $K$, $ <(8,11,12,13)(479)(1,2,10)>$ come faccio a stabilire se $K$ é un sottogruppo normale di $A_15$?
Io ho provato a ragionare cosí: $K$ é una permutazione pari,contiene l'identitá e ha ordine 12, ma contiene solo in parte la classe di coniugio di una permutazioni del tipo $(a,b,c,d)(e,f,g)(h,i,l)$ che ha ordine $151351200$, per cui é un sottogruppo di $A_15$, ma non é normale.
Potete controllare!
Grazie

[milos144]

Se qualcuno da un'occhiata quando ha del tempo....mi fa un gran piacere.
Grazieo

[Martino]

Non può essere un sottogruppo normale di $A_{15}$ perché $sigma$ non appartiene a $A_{15}$.

Comunque è meglio se motivi i tuoi ragionamenti. Dici "non è un sottogruppo di $A_{15}$" ma non spieghi perché.

Ti propongo di dimostrare questo: Sia $G$ un gruppo e sia $X$ un sottoinsieme di $G$ con la proprietà che per ogni $x in X$ e per ogni $g in G$ si ha $gxg^{-1} in X$. Allora \( \displaystyle \langle X \rangle \) è un sottogruppo normale di $G$.

[milos144]

Grazie Martino!
Vado a piccoli passi per meglio comprendere e non confondermi:

$1$$σ $ non appartiene a $A_4$ perché é una permutazione dispari.  

$2$ Ma se $G=<γσγ^−1,γ∈S15,σ=(1 2 3 )(5 6 7)(8 9 10)> $ non sarebbe nemmeno un sottogruppo
di $A_15$ perché non contiene l'identitá, ovvero la classe di coniugio non é mai un sottogruppo. (Tranne nel caso di $Co(id)$)
Dico bene?
$3$ se considero il sottogruppo di $A_15$ cioé $ K, <(8,11,12)(479)(1,2,10)$ non posso dire senza la dimostrazione che mi proponi,
che dopo peró provo a verificare, che $ K$ non é un sottogruppo di$ A_15$ perché non é unione di classi di coniugio?
Questo é un grosso dubbio che devo colmare.
Potresti gentilmente controllare

[Martino]

Tutte le tue domande hanno la stessa risposta:

Quando si scrive \( \displaystyle \langle X \rangle \) si intende "sottogruppo generato da X". Prova a riguardarti la definizione di sottogruppo generato.

[milos144]

$ gxg^−1∈X $Allora
Se $S$ è un sottoinsieme di $G$, esiste un sottogruppo più piccolo fra quelli che contengono $S$, che viene indicato con 《S》 e chiamato il sottogruppo generato da $S$. Un elemento di $G$ è in $《S》$ se e solo se è il prodotto di un numero finito di elementi di $S$ o dei loro inversi.
Ogni elemento $a$ genera quindi un sottogruppo ciclico $《a》$.

Nel mio caso io ho $S={(8,11,12)(4,7,9)(1,2,10)}$ e il gruppo
$《(8,11,12)(4,7,9)(1,2,10)》={e, (8,11,12)(4,7,9)(1,2,10), (1,10,2)(4,9,7)(8,12,11)}$

Verifichiamo la sua normalitá, nel mio caso devo verificare che sia un sottogruppo normale
di $A_15$.:
un sottoinsieme di $G$ con la proprietà che per ogni$ x∈X$ e per ogni $g∈G$ si ha $gxg^−1∈X$. Allora $⟨X⟩$ è
un sottogruppo normale di $G$.
Nel mio caso ho trovato un controesempio
$(1,2,3)(5,6,7)(8,9,10)*(8,11,12)(4,7,9)(1,2,10)*((1,2,3)(5,6,7)(8,9,10))^-1=(2,3,8)(4,5,10)(11,12,9)$
Concludo: $(2,3,8)(4,5,10)(11,12,9)$ non appartiene àl sottogruppo $《(8,11,12)(4,7,9)(1,2,10)》$ per cui non é normale.
Va meglio così? Grazie

[Martino]

Ma l'insieme S non è quello che scrivi. L'insieme S dato dall'esercizio è l'insieme dei coniugati di quell'elemento $sigma$.

[milos144]

Grazie

[Martino]

Te lo dico per aiutarti: non hai ben chiare alcune definizioni teoriche di base, senza le quali non puoi fare gli esercizi. Tali nozioni sono in particolare la nozione di sottogruppo generato e la nozione di sottogruppo normale. Inoltre hai delle difficoltà con l'utilizzo dei quantificatori e il modo in cui scrivi le cose ti induce ad interpretarle in modo errato. Sono critiche che spero accoglierai come costruttive.

Confermo la prima parte. Sulla seconda, scrivi $S={(gamma sigma gamma^{-1})}$ ma nel tuo primo intervento hai scritto

\( \displaystyle G = \langle \gamma \sigma \gamma^{-1},\ \gamma \in S_{15} \rangle \)

Questo gruppo $G$ è generato da tutti i coniugati di $sigma$ (e non solo uno!). Invece da quello che scrivi poi sembra che $G$ sia generato da un unico coniugato (perché non metti il quantificatore). Inoltre quando dimostri che $G$ è normale dici: sì è normale perché se faccio $gamma sigma gamma^{-1}$ ottengo una permutazione in $A_{15}$. Ma non devi mostrare che sta in $A_{15}$, devi mostrare che sta in $G$ (stai mostrando che $G$ è normale, non che $A_{15}$ è normale).

[milos144]

Grazie Martino, le tue critiche mi aiutano e sono costruttive. Cerco di mettere un pó di ordine...
Quando dici di usare il quantificatore ti riferisci a
$ S={(γσγ−1)} $
cioé dovevo scrivere  $S={(γσγ−1)} AA γ in S_15$

Ritorniamo adesso a $G=⟨γσγ−1, γ∈S15⟩ $, quando dici che questo gruppo é generato da tutti i coniugati
di $σ$ intendi la classe di coniugio di $σ$?
Se é cosí allora $G$ ha ordine $11211200$?

Dopo mi resta da verificare se $G$ é un sottogruppo normale di $A_15$