aiuto esercizio di algebra astratta (operazioni su relazioni)

[xandrew93]

Buongiorno, io ho un esame di matematica discreta ma purtroppo non riesco a capire quasi nulla, ho studiato dal programma del prof vecchio e ora essendo cambiato il prof gli esercizi sono diversi, notazioni diverse e mi manda tutto in confusione.

So che l'esercizio e' banale ma sono due giorni che non riesco a capirlo e ho provato a cercare esempi simili ma niente, tutti gli altri sono del tipo "L'operazione x # y = 2 + y su N, vedere se e' relativo, simmetrico ecc" il mio esercizio e' questo :
Sia # l'operazione su R definita da x # y = y . Dire, giustificando la risposta se l'operazione # e' associativa, commutativa e ha elemento neutro.

So che devo dimostrare che a # ( c # d ) = (a # c) # d e che a # b = b # a , ma non ho idea di come partire, qualsiasi aiuto sarebbe gradito. Grazie

[marco2132k]

Ciao! Allora, premetto che con R ho inteso che tu intendessi \(\mathbb{R}\) nota¹. Ciò che l'esercizio richiede è di verificare se l'applicazione \[\operatorname{\#} : \mathbb{R}\times \mathbb{R} \ni (x,y)\mapsto x\mathrel{\#}y = y\in\mathbb{R}\]
è associativa, commutativa e ha elemento nutro. Non mi sembra un esercizio particolarmente complesso: ricordi le definizioni di questi termini, e mi auguro abbiano nella tua testa un significato particolarmente concreto, indipendentemente dall'insieme dove è definita la tua operazione binaria. (Ah, se l'origine della tua confusione la notazione nome-della-notazione che mette \(\operatorname{\#}\) in mezzo ai due operandi, nulla ti vieta di scrivere \(\operatorname{\#}(a,b)\) al posto di \(a\mathrel{\#}b\))

Partiamo dall'ultima richiesta; cosa vuol dire innanzitutto possedere un elemento neutro? Pensa a cosa hai sempre chiamato elemento neutro alla scuola primaria: \(a+0=0+a=a\), \(a\times1=1\times a=a\) e infatti "lo zero è l'elemento neutro dell'addizione" e "l'uno è l'elemento neutro della moltiplicazione". Questo per ricordarti che l'elemento neutro di una qualsiasi operazione binaria di composizione su un insieme è (se esiste) quell'\(e\in\)quell'insieme tale che \(ae=ea=a\), per ogni elemento \(a\) dell'insieme considerato. Ora, supponiamo che un \(\epsilon\in\mathbb{R}\) sia il tuo \(e\); abbiamo \(a\mathrel{\#}\epsilon = \epsilon \neq a\) per almeno un \(a\in\mathbb{R}\). Riesci a capire perché in generale posso affermare così violentemente che \(\neq a\)?

Per controllare se \(\operatorname{\#}\) è commutativa, consideriamo \(a,b \in\mathbb{R}\), ma prendiamoli \(a\neq b\) (questa cosa la puoi fare, perché in \(\mathbb{R}\) sei sicuro di poter prendere due elementi diversi tra loro, ma nota che ciò potrebbe non essere scontato se l'insieme su cui lavori non ti è "del tutto noto"); \(a\mathrel{\#}b = b \neq a\mathrel{\#}b=a\). Parafrasando, esistono due reali che non commutano.

Lascio a te il compito di verificare la transitività di \(\operatorname{\#}\) (o di confutarla).

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Hai mai fatto da solo una dimostrazione/capito in qualche occasione come si procede per dimostrare un qualcosa/intuito perché diciamo che in quel modo quel qualcosa è dimostrato? (Anche se l'ultimo punto non è essenziale ) In altri termini, la tua difficoltà è solo con le operazioni binarie e la mate discreta, o anche con altri aspetti della matematica che coinvolgono dimostrazioni? Altrimenti non sono sicuro di averti risposto pienamente nel caso fosse la 2...

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Note

1. Codice:

   \(\mathbb{N}\) oppure $RR$

   ↑

[xandrew93]

Ti ringrazio della risposta, purtroppo non ho mai fatto dimostrazioni e quindi non so proprio da come partire, cioe so le formule e teoria, ma non so proprio cosa vuol dire dimostrare, per me non ha senso che ci sia x # y = y ma poi usiamo a e b per dimostrare ?

Ora, supponiamo che un ϵ∈R sia il tuo e; abbiamo a#ϵ=ϵ≠a per almeno un a∈R. Riesci a capire perché in generale posso affermare così violentemente che ≠a?

Si in questo caso capisco che hai sostituito y con l'elemento neutro e , e che la formula dice che a#e=e#a=a cioe che a rimane invariato in quanto l'elemento neutro lo lascia cosi, (nel caso del + e' 0 e nel caso di x e' 1 quindi 2+0 = 2 e 2x1 = 2) , fin qui ho capito, e ho capito che nel mio caso abbiamo x#y = y quindi sostituendo y con e (elemento neutro) abbiamo che x#e=e=x perche se faccio per esempio 2+0=0=/=2 , o no ?


Non riesco proprio a capire il collegamento, come posso esercitarmi su queste dimostrazioni ?

per esempio se devo dimostrare la associativita sull'operazione + in R allora:
so che prendo (a,b,c) rispettivamente 1,2,3 e so che 1+(2+3) = ( 1+2)+3 , e per la commutativita prendendo a e b rispettivamente 1 e 2 so che 1+2 = 2+1

Ma gia vedendo x#y=y non so come procedere, cioe quale operazione devo dimostrare ?
potrebbe essere + o x, e poi quel uguale a y (=y) cosa significa ?
di solito nella lezione erano sempre esercizi del genere x,y dato che x-y e' pari, invece nell'esame c'e x# y =y, so che e' semplice ma non riesco proprio a fare il collegamento logico e non so come partire.

In matematica del continuo non ho problemi, sono arrivato alle eq differenziali e ho capito tutto, ma nel discreto non riesco a capire nemmeno il concetto piu di base.

[marco2132k]

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Cosa studi?

per me non ha senso che ci sia x # y = y ma poi usiamo a e b per dimostrare[...]

Immaginavo che il problema fosse questo. Ti consiglio di prendere in mano un testo di analisi matematica elementare, di solito nelle prime pagine dovresti trovarci i primi rudimenti di "logica" necessari ad affrontare il panorama matematico (è importante che tu lo faccia imho). Partiamo dall'esempio precedente, e svolgiamolo qui passo per passo; prendi questo esempio come revisione della "teoria delle operazioni binarie" (non che sia tutta sta teoria comunque):

L'operazione \(\operatorname{\#}:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}:(x,y)\mapsto x\mathrel{\#}y=y\) ha elemento neutro?
Innanzitutto, che diavolo significano quei simboli blu al di sopra di questa riga? Immagino che (alle superiori, all'uni magari) tu abbia incontrato il concetto di funzione. L'operazione (binaria) \(\operatorname{\#}\) è una funzione (vogliamo che lo sia, l'esercizio te la sta definendo in questo caso, ti sta dicendo "consideriamo la funzione definita da...") che prende in ingresso una coppia ordinata di numeri reali \((x,y)\) e ritorna un numero reale. Non uno qualsiasi, bensì il secondo elemento della coppia ordinata \((x,y)\) in ingresso. Ora, in qualche modo dovrò pure avere un soggetto su cui predicare l'azione di "prendere il secondo elemento della coppia". Esso è evidentemente rappresentato dalla coppia \((x,y)\), ma, come detto è una roba generica, che sta ad indicare una qualsiasi coppia di numeri reali come potrebbe essere \((24,42)\).

Esempio: Consideriamo la coppia $(1,5)\in\RR\times RR$ (nota che l'insieme $RR\times RR$ altro non è che l'insieme di tutte le coppie ordinate della forma \((x,y)\), dove \(x\) e \(y\) sono numeri reali); Qual è il risultato di applicare la funzione (o operazione, o applicazione, o chiamala come più ti piace) \(\operatorname{\#}\) appena definita alla coppia suddetta? Se avessimo denotato \(\operatorname{\#}\) con il simbolo \(f\), istintivamente saresti stato portato a scrivere \(f(1,5)=\text{roba}\) (forse per qualche rimasuglio tumorale del liceo, roba del tipo \(y=f(x)\)). Ma no, noi scriviamo \(\operatorname{\#}(1,5)\) perché vogliamo bene alla stessa maniera a tutti i simboli; anzi, per comodità utilizziamo la notazione infissa, cioè scriviamo al posto di \(\operatorname{\#}(1,5)\), \(1\mathrel{\#}5\) per indicare la stessa cosa. Prova per capire il meccanismo a trovare l'output secondo \(\operatorname{\#}\) di alcune coppie di reali a caso, tipo \((1,5)\), \((15,8)\), ecc..

Appurato che \(\operatorname{\#}\) è una funzione allo stesso modo di \(f(x)=x^3+2x^2-7\) di cui avrai calcolato la derivata nella "matematica del continuo" (anche se ha effettivamente un dominio diverso), dobbiamo capire se essa ha un elemento neutro. Data un'operazione binaria qualsiasi, che chiamerò \(\star\), in un insieme qualsiasi, che chiamerò \(S\), \(\star:S\times S\to S\), diciamo (è una definizione, arbitraria) che essa ha elemento neutro se esiste un qualsiasi elemento di \(S\), che denoterò per comodità con \(e\) (ancora, dovrò in qualche modo parlare di questo elemento: mi è utile denotarlo con un simbolo generico) tale che per qualsiasi elemento \(a\in S\) (\(a\) denota un qualsiasi elemento, che però è in \(S\): potevo pure chiamarlo \(b\), o "\(\text{pippo}\)", cit.) sia \[a\mathrel{\star}e = e\mathrel{\star}a = a\]
(uso ancora la famigerata notazione infissa, ma potrei scrivere benissimo \(\star(a,e)\): dipende dal contesto, dall'applicazione con cui sto operando, dal mio senso estetico). Supponiamo allora che esista un elemento neutro per \(\operatorname{\#}\); rileggi la dimostrazione che ho fatto prima, conscio del significato dei simboli che maneggi.
QED.

per esempio se devo dimostrare la associativita sull'operazione + in R

L'associatività dell'addizione è un assioma, non si dimostra a meno che tu non abbia adottato nei tuoi corsi un approccio costruttivo per quanto riguarda gli insiemi numerici.

[Indrjo Dedej]

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Ti consiglio di prendere in mano un testo di analisi matematica elementare, di solito nelle prime pagine dovresti trovarci i primi rudimenti di "logica" necessari ad affrontare il panorama matematico (è importante che tu lo faccia imho)

Mah, si può fare anche di meglio a parer mio. Guardati questo, è un librettino e non è una grande spesa. Leggiti la prefazione e dai una scorsa all'indice prima di comprarlo. Brevemente un libro in due parti: nella prima tratta, l'insiemistica intuitiva, le relazioni, le funzioni e i numeri naturali; nella seconda parte introduce alla logica. Ma il punto non è questo, quanto il fatto che mira ad essere un'introduzione al modo di fare matematica e pone enfasi al modo di dimostrare. Un suo difetto potrebbe essere che tratti di temi troppo elementari (insiemi, relazioni, funzioni e numeri naturali). Purtroppo altri testi che vengano in contro alle tue necessità specifiche non ne conosco. E comunque, visto che non avete mai toccato una dimostrazione, può esserti utile.

[xandrew93]

[quote="marco2132k"]

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Cosa studi?

Studio sicurezza informatica all'UNIMI , comunque sono indietro con gli esami perche avevo deciso di lavorare ma ora voglio finire la laurea per poter concentrarmi full-time sul lavoro.

Prendero tutto quello che mi avete dato e leggero, vi ringrazio, e' l'unica cosa che non ha senso per me, e sono le basi, quindi ovviamente faccio fatica anche in altri argomenti.

Avevo fatto un liceo di scienze umane e la matematica era un optional, non mi e' mai piaciuta, ma ora da quando ho capito meglio la matematica del continuo e' iniziata a piacermi, poi andando sull'algebra astratta mi sono depresso ancora, speriamo bene, perche' sono determinato e inoltre serve per fare l'algebra lineare, che poi serve per algoritmi e crittografia (e un po' tutto nel mondo dell'informatica)

Vi ringrazio ancora.