Alla ricerca dei Primi

[axpgn]

un numero primo è tale se appartiene alla sequenza 6n∓1 che non appartiene alla matrice dei composti che ho descritto con n che non appartiene ai rispettivi valori a1x, a2x, b1x, b2x che sono i valori di n produttivi di composti in uno dei due elementi della coppia di valori 6n-1; 6n+1.

Mi sembra un modo un po' complicato per definire un numero primo … in pratica dici che un naturale è primo se è della forma $6n+-1$ ma non è composto …

Per il resto non ho approfondito il tuo ragionamento, (anche perché non ci ho capito molto, è ovvio che andrebbe approfondito e a tale riguardo posta un link al documento a cui ti riferisci ma senza che il link sia attivo, in modo tale che se qualcuno è interessato, si prende il link e se lo riscrive dove vuole, ok ? Penso si possa fare, casomai qualche moderatore interverrà … ) quindi non so quanto sia corretto ma ti faccio notare che un sistema di due equazioni diofanteee di secondo grado non è così banale come pensi ... invece di provare con $n = 7, 8, …$ vedi cosa riesci a fare (velocemente) con interi da migliaia di cifre (perché di questo stiamo parlando ... )

[Zero87]

magari è sbagliata ma per quello appena si vede l'errore si può interrompere.

Il problema è che usi una notazione "tua" ed è difficile, diciamo, "attaccarti" per vedere dove sbagli (parlo per me, non so altri).
Proviamo ad avere un approccio diverso e più tranquillo. Tu dici (correggimi se sbaglio, ovvio) di aver dimostrato che i numeri primi gemelli sono infiniti. E lo hai fatto in questo ordine di idee

Il percorso in sintesi è questo:
- la geometria del quadrato è familiare a tutti gli interi quindi anche ai primi
- la differenza di quadrati descrive un fotogramma di una crescita di quadrati che può determinare la creazione delle quantità di unità necessarie a formare tutti i numeri primi e composti
- lo studio della differenza dei quadrati porta a individuare che tutti i quadrati costruiti con lato un numero primo hanno divisibilità per 24 compresi i gemelli
- si dimostra che per i gemelli questa equivale alla serie 6n-1 6n+1 quindi anche i primi isolati ne fanno parte
- si individua il modo di discriminare tutti i valori n che in 6n /+-1 danno valori di composti e si descrive una matrice simmetrica che riconduce a questi valori
- si osserva che le proprietà di questa matrice simmetrica determinano tutte le distanze fra primi successivi
- si usano le forme che producono le n relative ai composti per un crivello che seleziona tutte le coppie di primi gemelli
- individuo delle regolarità modulari di queste serie che uso per applicare il crivello non come algoritmo ma per strutture modulari e dimostro che tutte le dimensioni riscontrate in questi moduli rispondono a sequenze generalizzabili
- sfrutto queste proprietà per dimostrare che esistono infiniti valori n che restituiscono nella forma 6n-1 6n+1 coppie di primi gemelli

Io ho visto i primi 9 minuti del video (non prendertela con me se non ho tutto questo tempo) e quello che ho notato che fai è:
- dimostrare che i numeri primi, eccetto il 2 e il 3 sono della forma $6n\pm 1$ con $n$ intero positivo;
- dimostrare che se $p$ e $q$ sono due primi diversi da $2$ e $3$ hai che $p^2-q^2$ è divisibile per 24.
Dopodiché crei una matrice ma da lì non ti seguo più (ripeto, parlo in base alle mie conoscenze).

Comunque il primo punto lo si può dimostrare in tanti modi differenti ed è un fatto assodato, puoi anche darlo per scontato. Ho visto che lo dimostri in un modo strano, passando per i quadrati, ma se ho capito bene comunque riporta, non ho nulla da dire.
Per il secondo punto, mi sono perso abbastanza, ma fai un ragioamento che provo, alla buona, a riassumere così (anche se poi non ti seguo più da un certo punto in poi)
$p^2-q^2 = (6n \pm 1)^2 - (6m \pm 1)^2 = 36n^2 \pm 12 n +1 - 36m^2 \pm 12 m +1 = 36(n^2-m^2) + 12(\pm n -(\pm m))$
dove, a prescindere dalle casistiche, puoi raccogliere solo 12 e non 24.

Comunque hai usato un modo differente, molto dialogato, che non ho capito e che quindi magari trova il 2 che manca, per questo si può partire da qui.

[pdercoli]

@axpgn
dico che ho riscontrato che la forma 6n∓1 equivale ai due lati di numeri primi gemelli >3 o loro composti e che l'ho ricavata dalla differenza dei quadrati con lato numeri primi, in particolare gemelli.
Come tu stesso hai evidenziato in questa forma è banale osservare che con +2 e +4 abbiamo dei pari quindi sicuramente non primi e con +3 abbiamo un multiplo del 3 quindi rimangono solo +1 e +5 (o -1 concentrandoci sui quelli che possono essere anche gemelli) che possono candidarsi ad essere primi. Questo significa che tutti i numeri primi gemelli (e non) possono trovarsi solo in una forma che è 6n-1 o 6n+1. Quelli in questa forma che non sono primi possono essere di conseguenza solo composti di altri numeri nella forma 6n∓1 perché in questa forma sono esclusi tutti i possibili numeri composti di 2 e 3.

Essendo nuovo e trovando che già qualche utente aveva osservato le proprietà di 6n∓1 ho pensato che il mio contributo fosse interessante.

Per quanto riguarda il test di primalità su numeri grandi posso dirti che da informatico ho potuto agevolmente ricavare un algoritmo di fattorizzazione che in caso di un numero primo ha bisogno di $ 1/6 radq(n) $ moduli per arrivare a dare una risposta affermativa e l'ho verificato con un prototipo perfettamente funzionante mentre se il numero non è primo impiega molto meno a scomporlo. Con una macro excel tratto numeri da 20 cifre in frazioni di secondo. Spostandosi su valori immensamente più grandi chiaramente i tempi richiesti non sono affrontabili. Chiaramente usando un compilato invece che un interprete vba e adottando alcuni accorgimenti che non ho usato si può fare meglio ma non investo giorni di lavoro per questo genere di attività.
Questo aspetto interessa la crittografia RSA e prima di parlarne in un forum ho verificato che il problema restasse sempre in termini di tempi di risoluzione esponenziale almeno per quel che sono riuscito a fare io e quando ne ho avuto conferma mi sono fermato. Non volevo minimizzare la complessità del problema sui grandi numeri.
Io mi sono impegnato a risolvere la congettura dei primi gemelli e sto cercando di farla vedere a persone con più competenza di me e sto pensando di aprire una discussione in cui espongo tutti i passaggi punto punto

ciao
Piergiorgio

[pdercoli]

@Zero87
purtroppo non ho una formazione che mi consente di affrontare l'argomento con un approccio più accademico e condiviso. Ho fatto il video proprio per affrontare l'argomento cercando di far comprendere i concetti alla base del mio modo di procedere.

Per secondo punto intendi che tutti i quadrati con lato 6n∓1 restituiscono un multiplo di 24 o ti riferisci alla matrice dei composti?

[axpgn]

Purtroppo non riesco a seguirti … per esempio quando parli di "differenze di quadrati di primi gemelli" che sono sempre divisibili per $24$ mi viene da notare che tutte le differenze dei quadrati dei due numeri "gemelli" $6n+-1$ sono divisibili per $24$ …
Poi, perdonami, ma parlavo di numeri da migliaia di cifre (se non milioni) e non venti …
Posta un riferimento alla documentazione di cui accennavi … il video non fa per me

[pdercoli]

Per il secondo punto, mi sono perso abbastanza, ma fai un ragioamento che provo, alla buona, a riassumere così (anche se poi non ti seguo più da un certo punto in poi)
$ p^2-q^2 = (6n \pm 1)^2 - (6m \pm 1)^2 = 36n^2 \pm 12 n +1 - 36m^2 \pm 12 m +1 = 36(n^2-m^2) + 12(\pm n -(\pm m)) $
dove, a prescindere dalle casistiche, puoi raccogliere solo 12 e non 24.

$3(n^2-m^2) + (\pm n -(\pm m)) $

dato che $n$ ed $m$ sono due numeri dispari della serie $6n±1$ sono entrambi dispari ed entrambi non sono divisibili né per 2 né per 3 anche se elevati al quadrato quindi sia $(n^2-m^2)$ che $(\pm n -(\pm m)$ sono numeri pari in quanto differenza o somma di numeri dispari e di conseguenza siamo di fronte ad un numero pari multiplo di 12

[axpgn]

Ricapitolo:

- i numeri primi sono tutti della forma $p=6k+-1$ con $k in NN$, tranne il $2$ e il $3$, ma non è vero il viceversa ovvero non tutti i numeri della forma $p=6k+-1$ con $k in NN$ sono numeri primi.

- dati due numeri naturali $p$ e $q$ qualsiasi nella forma $p=6m+-1$ e $q=6n+-1$, le differenze tra i loro quadrati sono divisibili per $24$. Attenzione: questa proprietà vale sia per i primi che per i composti.

Quindi per adesso non vedo grossi passi avanti; qual è il prossimo passo?

[Zero87]

Purtroppo non riesco a seguirti … per esempio quando parli di "differenze di quadrati di primi gemelli" che sono sempre divisibili per $24$ mi viene da notare che tutte le differenze dei quadrati dei due numeri "gemelli" $6n+-1$ sono divisibili per $24$ …

Mi ero perso questo passaggio (l'ho sottolineato nella citazione), @pdercoli.
Comunque sì, allora ci siamo, se $p$ e $q$ sono gemelli, $p=6n+1$ e $q=6n-1$ con lo stesso $n$ e hai
$p^2-q^2 = (6n+1)^2-(6n-1)^2 = 36n^2+12n+1-36n^2+12n-1=24n$
quindi è giusto quello che dici. Come ha detto axpgn, vale anche per qualsiasi coppia di numeri non primi che si può scrivere nella forma $6n\pm 1$.
Ora quindi vediamo il prossimo passaggio (mi accodo ad axpgn).

@Zero87
purtroppo non ho una formazione che mi consente di affrontare l'argomento con un approccio più accademico e condiviso.

Non preoccuparti, proviamo comunque a capirci, un passo alla volta (come dice anche axpgn - che ho nominato ventimila volte quindi lo saluto ).

[axpgn]

Come ha detto axpgn, vale anche per qualsiasi coppia di numeri non primi che si può scrivere nella forma $6n\pm 1$.

Ma non solo, di più … ciao Zero

Come ho detto vale sempre, anche con $p=6n+-1$ e $q=6m+-1=6(n+k)+-1$ cioè non è necessario che i due numeri siano distanti solo due unità, è sufficiente che siano distanti una sola unità da un multiplo di sei (primi o composti non fa differenza) … così almeno mi ha confermato Wolfram (spero non faccia scherzi )

Cordialmente, Alex

[pdercoli]

che questo è vero per tutti i numeri appartenenti a $6n±1$ lo dico anche io nel video

io descrivo il percorso che ho fatto che parte dall'ipotesi che la chiave di lettura per comprendere i primi è il quadrato trovando questa divisibilità per 24 che mi ha condotto alla forma numerica $6n±1$.

@axpgn io non ho affermato di aver risolto il problema dei primi in tempi polinomiali altrimenti, avendo questo una ripercussione sulla sicurezza rsa, mi sarei guardato bene dal renderlo pubblico. Ho detto che studiando i composti nella forma $6n±1$ sono arrivato a comprendere la distribuzione dei primi, spiegare il perché di ogni singolo salto e arrivare ad una possibile soluzione dei primi gemelli. Avrei altre cose da aggiungere alla questione della fattorizzazione ma serve arrivare alla matrice dei composti e questo ancora non è un punto chiarito.

Il passo successivo (una volta compreso che i primi, sia gemelli che isolati, sono tutti nella forma $6n±1$) è quello di individuare tutti i valori che in questa serie non sono primi come anche @MarcoDF ha pensato di fare.
Facendolo ho individuato sia le quattro possibili forme che possono assumere i composti in $6n±1$ che i rispettivi valori di $n$ che in $6n±1$ daranno luogo ad un composto in uno dei due elementi della coppia.
I composti, se sviluppati in ogni loro combinazione, permettono di creare una matrice simmetrica che è il corrispondente di una tabellina pitagorica.
Con le forme numeriche che restituiscono gli $n$ in cui è presente almeno un composto ho fatto un crivello che mi permette di selezionare tutti i valori che corrispondono a primi gemelli in $6n±1$

L'aspetto della matrice con il crivello sicuramente non è chiaro se non si fa il passaggio che ho fatto io e cioè sviluppare tutti i valori $n$ dei composti per ogni $p_k$ ottenendo questo:



dove rimangono valori non occupati da composti lì ho un $n$ che mi restituisce una coppia di primi gemelli

osservando meglio quei valori ho visto che questi, se non si considera la distribuzione rispetto ai vari p_k, assumono una forma molto regolare rispetto a tutti i valori $n$ ed in sostanza "comprimendoli" in una matrice restituiscono una matrice simmetrica simile ad una tabellina pitagorica come mostrato nel video



dato che questi valori assumono una struttura regolare ho ideato l'approccio dei moduli a cui non siete arrivati nel video. Se questo aspetto vi risulta più comprensibile possiamo andare avanti osservando che i valori in cui cadono composti sono sempre modulari e sfruttare questa proprietà