Nulla di nuovo, insomma.
Ho deciso, però, di mettere le mani e di entrare in quello spazio anche perchè alla fine lo spazio proiettivo è qualcosa di semplice da capire:
1. prendiamo uno spazio vettoriale X (non deve essere necessariamente di HIlbert)
2. ci calcoliamo l'insieme quoziente come da manuale
come-si-calcola-l-insieme-quoziente-t92506.html
.. e quindi otteniamo uno spazio proiettivo perchè un insieme e' proiettivo se e' il quoziente di uno spazio vettoriale.
A questo punto mi trovo in questa situazione: uno spazio proiettivo in cui risiedono gli stati puri a cui però, non ho accesso, e e un'altro spazio proiettivo, il mio, in cui risiedono stati X (altrettanto puri) del mio spazio vettoriale X
Ora, però, mi sono accorto che esiste una 'matrice' (termine improprio) per passare da uno spazio proiettivo all' altro senza dover 'forzare la serratura', ma semplicemente restando alla definizione di proiettività e facendomi questa domanda: quale particolare corrispondenza biunivoca ho davvero bisogno anzichè qualsiasi corrispondenza biunivoca?
una proiettività è una corrispondenza biunivoca tra punti di uno spazio proiettivo
Un esempio di proiettività è l'omologia
Ma per farlo mi sono imbattuto in qualcosa di 'inverso': gli spazi iniettivi, praticamente ho dovuto 'rovesciare' la prospettiva riguardo la corrispondenza biunivoca che definiva quella nozione arbitraria di proiettività (dopotutto una corrispondenza biunivoca è una definizione troppo generale..una relazione binaria tra X e Y tale che ad ogni elemento di X corrisponda uno ed un solo elemento di Y ) ma a me serve una particolare relazione binaria, ma questo comporta che la mia corrispondenza biunivoca deve essere una funzione invertibile
Una funzione è invertibile se è sia iniettiva che suriettiva..
A me interessa l'iniettività per via dell' uso che ne voglio fare: poter maneggiare direttamente gli stati puri residenti in qualsiasi spazio proiettivo (sotto certi aspetti gli stati puri mi ricordano essere tipo dei Convex sets in projective space)
http://www.numdam.org/article/CM_1956-1 ... _113_0.pdf
Dando una letta a qui
http://www.lfcs.inf.ed.ac.uk/reports/98 ... 98-383.pdf
mi sono reso conto che abbiamo a che fare con qualcosa di molto interessante: monadi e topologia di Scott.
A questo punto mi sono fermato perchè non mi aspettavo che venisse fuori la topologa di Scott e la monade Lax-idempotente
Una sorpresa