Dato il gruppo delle matrici del secondo ordine con elementi in \(\displaystyle Z_3 \), dovrei dimostrare che il sottogruppo:
$(B, *) = { ( ( a, -b ),( 0, a ) ) | a, b \in Z_3}$
è un gruppo ciclico di ordine 8, e quindi trovarne i generatori.
Ovviamente, dato un generatore g, i generatori di un gruppo ciclico di ordine 8 sono: \(\displaystyle g, g^3, g^5, g^7 \), tuttavia rimangono dei misteri irrisolti.
Ho fatto dei calcoli, ho considerato tutte le matrici a mia disposizione, il cui numero ammonta a 9 perché ho da scegliere sia a che -b tra i numeri 0, 1 e 2. Facendo una serie di conti mi accorgo che la matrice con il periodo più grande tra quelle a mia disposizione è la matrice $ ( (2, 2),(0, 2) ) $ di ordine 4. Tutte le altre hanno periodo 2, massimo 3.
Un ipotetico generatore di questo gruppo ciclico dovrebbe avere ordine 8, quindi chiamato g questo generatore:
$ g^8 = I $.
Siccome g appartiene a B, deve essere una matrice nella forma $ ( (a, -b),(0, a) ) $, ma una qualsiasi matrice del genere quando viene elevata all'ottava potenza diventa:
$ g^8 = ((a^8, -8a^7b),(0,a^8)) $
Sono dunque arrivato alle seguenti conclusioni:
1) l'elemento a può essere sia 1 che 2, poiché $1^8 = 1; 2^8 = 256 = 1 mod 3$
2) l'elemento b deve essere un multiplo di 3, che equivarrebbe a dire 0, perché $Z_3$ è un campo e se $ -8a^7b = 0 mod 3 $, allora per la legge di annullamento del prodotto o a o -b deve essere uguale a 0, ma siccome a deve essere già o 1 o 2, allora b deve essere 0.
Le uniche matrici che rispettano queste condizioni sono la matrice unitaria, che ovviamente non può avere periodo 8, e la matrice $ ((2, 0), (0, 2))$, che però ha ordine 2.
Forse c'è qualche errore concettuale, quindi il ragionamento è fallace. In tal caso vi chiedo di colmare questa mia lacuna, questo esercizio mi sta mandando in pappa il cervello
