Azione semplicemente transitiva del gruppo simmetrico
Inviato: 02/09/2018, 22:48
Salve! Sto cercando di provare che il gruppo simmetrico \(\mathfrak{S}(E)\) di un insieme qualsiasi \(E\) agisce transitivamente su \(E\) stesso, in modo semplice solo quando \(E\) ha al più due elementi distinti.
Tenendo presente che la rappresentazione con cui lavoriamo è semplicemente l'identità di \(\mathfrak{S}(E)\), visto come gruppo rispetto all'operazione di composizione di applicazioni, devo, di fatto, provare che per ogni coppia \((x,y)\) di \(E\times E\) esiste una bigezione (unica nel secondo caso) \(f\in\mathfrak{S}(E)\) tale che \(fx=y\). Ho paura che la validità del claim dipenda da qualche cosa in combinatoria (che ignoro, purtroppo), quindi vi chiedo qualche suggerimento, nonostante creda che la domanda sia piuttosto stupida .
Tenendo presente che la rappresentazione con cui lavoriamo è semplicemente l'identità di \(\mathfrak{S}(E)\), visto come gruppo rispetto all'operazione di composizione di applicazioni, devo, di fatto, provare che per ogni coppia \((x,y)\) di \(E\times E\) esiste una bigezione (unica nel secondo caso) \(f\in\mathfrak{S}(E)\) tale che \(fx=y\). Ho paura che la validità del claim dipenda da qualche cosa in combinatoria (che ignoro, purtroppo), quindi vi chiedo qualche suggerimento, nonostante creda che la domanda sia piuttosto stupida .