Scrittura come prodotto semidiretto in $S_n$

[nick_10]

Salve, come da titolo volevo provare a dimostrare una cosa del genere. Per ogni $sigma in S_n$ vale che:
$N(<sigma>)=C(sigma) rtimes Aut(<sigma>)$, dove $N(*),C(*)$ indicano rispettivamente il normalizzatore e centralizzatore.
Ho già dimostrato che $abs(N(<sigma>))=abs(C(sigma))*abs(Aut(<sigma>))$ costruendo un omomorfismo $phi:N(<sigma>) to Aut(<sigma>)$ con $phi(tau)=phi_tau$ ($phi_tau(sigma^a)=tau*sigma^a*tau^-1)$
Segue subito che $Ker(phi)=C(sigma)$. Quindi posso dire grazie all'omomorfismo che:
1)$C(sigma)$ è un sottogruppo normale di $N(<sigma>)$
2)$C(sigma)Aut(<sigma>)=N(<sigma>)$
Per completare la caratterizzazione di prodotto semidiretto mi servirebbe che $C(sigma) cap Aut(<sigma>)=$id
Però non so come fare...

[spugna]

Attento all'ultima parte..!

2)$ C(sigma)Aut(<sigma>)=N(<sigma>) $
Per completare la caratterizzazione di prodotto semidiretto mi servirebbe che $ C(sigma) cap Aut(<sigma>)= $id

Per dare un senso a questo dovresti prima identificare $Aut(<sigma>)$ con un sottogruppo di $S_n$, ma sostanzialmente è proprio ciò che manca per concludere...

Hai già dimostrato che ${N(<sigma>)}/{C(<sigma>)} cong Aut(<sigma>)$ (d'ora in poi chiamerò questi gruppi $N,C$ e $A$): per dire che viene un prodotto semidiretto devi trovare un sottogruppo di $N$ isomorfo ad $A$ che interseca banalmente $C$.

Sia $m$ l'ordine di $sigma$, e siano $k_1...k_r$ le lunghezze dei suoi cicli disgiunti: conviene allora vedere $sigma$ come elemento di $S_(k_1) times ... times S_(k_r) <= S_n$ e trovare $A$ dentro questo sottogruppo. Siano ora $(a_0 ... a_(k_i-1))$ un ciclo di $sigma$ e $h$ un intero coprimo con $m$: a maggior ragione $h$ è coprimo con $k_i$, quindi la funzione $psi_i(h)$ che manda $a_j$ in $a_(hj \mod k_i)$ è una permutazione in $S_(k_i)$. Ripetendo il procedimento con gli altri cicli si trova $psi(h)=psi_1(h)*...*psi_r(h)$, e per concludere si deve verificare che:

- $psi$ risulta essere un omomorfismo iniettivo da $A cong (ZZ/(mZZ))^**$ a $S_n$;
- $psi(h)sigma psi(h)^(-1)=sigma^h$, da cui segue che $im(psi)$ è un sottogruppo di $N$ e che $psi(h) in C Leftrightarrow h -=1 (\text{mod } m) Leftrightarrow psi(h)=\text{id}$.

[nick_10]

Grazie per l'aiuto!