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Buonasera!
Ho questo problema: Dimostrare che un sottogruppo proprio di $A_5$ ha ordine al più 12
Poiché $abs(A_5)=60=2^2*3*5$. In pratica devo escludere sottogruppi $K$ con $abs(K)=15,20,30$
1)Caso $abs(K)=30$, si risolve velocemente dato che un sottogruppo del genere avrebbe indice 2 in $A_5$ e sarebbe dunque normale; il che è assurdo per semplicità del gruppo alterno per $n>=5$
2)Caso $abs(K)=15$. Un gruppo di ordine 15 è necessariamente ciclico, dunque $A_5$ dovrebbe contenere un elemento di ordine 15 il che è nuovamente assurdo(basta indagare sulla struttura dei cicli di $A_5$)
Il caso $abs(K)=20$ non riesco a risolverlo...avevo pensato a qualcosa del tipo: $2|abs(K)$, $5|abs(K)$, da cui per Cauchy l'esistenza di un elemento di ordine 2 e uno di ordine 5 in $K$(che dovrebbero essere, rispettivamente, un 2-2 ciclo e un 5-ciclo). Qualche indizio per proseguire?

Ciao, il caso $20$ e' un esempio di esercizio dove si usa l'azione sui laterali. Supponi che $K$ sia sottogruppo di ordine $20$. Allora hai tre classi laterali di $K$ dentro $A_5$, diciamo $K, xK, yK$ per $x$ e $y$ opportuni elementi di $A_5$. $A_5$ agisce per moltiplicazione a sinistra sull'insieme ${K, xK, yK }$, e questo determina una mappa $A_5 to S_3$, che in effetti e' suriettiva (perche'?). Questo ti porta ad una contraddizione in una riga (di nuovo, perche'?)

Grazie! Non ci avevo proprio pensato