Elemento appartenente al sottogruppo generato da due sottogruppi e ad uno di essi

[ti2012]

Salve. Chiedo scusa, se abbiamo un gruppo G, H e L sottogruppi di G e un elemento x $in$ $<<H, L>>$, allora possiamo affermare che $x$ $in$ $H$ ? Io ho pensato alla definizione di sottogruppo generato da due sottogruppi, in questo caso $<<H, L>>$ e quindi alla forma di un elemento appartenente a $<<H, L>>$.. Quindi il generico elemento $x$ dovrebbe essere del tipo $h_1l_1h_2l_2h_3l_3...h_nl_n$ con $h_i$ $in$ $H$ e $l_i$ $in$ $L$.. Non possiamo affermare che risulta anche x $in$ H ?
Grazie mille

[Martino]

No non possiamo. Potremmo farlo solamente se $L$ fosse contenuto in $H$.

[ti2012]

Infatti..Grazie

[ti2012]

Allora, chiedo scusa, in tale situazione ossia abbiamo i sottogruppi $H$, $K$, $L$ di $G$ tali che $H$ $<=$ $K$, $<<H,L>>$ = $<<K,L>>$, $x$ $in$ $K$, allora $x$ $in$ $<<H,L>>$ e dunque esistono due sottogruppi finitamente generati $H_1$ di $H$, $L_1$ di $L$ tali che $x$ $in$ $<<H_1,L_1>>$. Allora perchè risulta che $x$ $in$ $H_1$ ?

[Martino]

Ma ci hai detto tutte le ipotesi? Come fai a sapere che questa cosa che hai estratto dal tuo testo contiene tutte le ipotesi di cui hai bisogno? Che testo stai seguendo? Prova a darci un link o il nome del libro. O in alternativa scrivi qui il teorema che stai dimostrando con tutte le ipotesi e riporta la dimostrazione.

[ti2012]

Grazie. Appena ho la possibiltà, scrivo la dimostrazione