Simpatico esercizio;
ho scritto la prima cosa che mi è venuta in mente.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Identificando \(\displaystyle2^{\mathbb{N}}\) con l'insieme delle funzioni da \(\displaystyle\mathbb{N}\) a \(\displaystyle\{0,1\}\); sappiamo che quest'ultimo è in biezione con \(\displaystyle\mathscr{P}(\mathbb{N})\), l'insieme della parti di \(\displaystyle\mathbb{N}\), e questi è un insieme parzialmente ordinato rispetto all'inclusione tra i suoi elementi.
Per esattezza, la biezione \(\displaystyle\beta:S\in\mathscr{P}(\mathbb{N})\to\chi_S\in\{0,1\}^{\mathbb{N}}\), ove \(\displaystyle\chi_S\) è la funzione caratteristica di \(\displaystyle S\), permette di indurre su \(\displaystyle2^{\mathbb{N}}\) una relazione d'ordine parziale!
Sia \(\displaystyle f\in\mathrm{Aut}_{\leq}\left(2^{\mathbb{N}}\right)\); utilizzando l'identificazione di prima, sappiamo per definizione che \(\displaystyle f(\emptyset)=\emptyset,\,f(\mathbb{N})=\mathbb{N}\). Siano \(\displaystyle m\neq n\in\mathbb{N}\), e si definisca
\[
\forall S\in\mathscr{P}(\mathbb{N}),\,f(S)=\begin{cases}
S\iff m,n\notin S\,\text{oppure}\,m,n\in S\\
(S\setminus\{m\})\cup\{n\}\iff m\in S,n\notin S\\
(S\setminus\{n\})\cup\{m\}\iff n\in S,m\notin S
\end{cases}.
\]
Si dimostra con semplici calcoli che \(\displaystyle f\neq\mathrm{Id}_{2^{\mathbb{N}}}\in\mathrm{Aut}_{\leq}\left(2^{\mathbb{N}}\right)\).