Sottogruppi caratteristici

[nick_10]

Buonasera a tutti!
Ho difficoltà nel trovare la cardinalità o il gruppo stesso degli automorfismi di un dato gruppo. I miei problemi nascono nel non capire come trovare i sottogruppi caratteristici di un dato gruppo, perché alla fine sono questi ultimi che danno informazioni utili e necessarie a trovare i "veri automorfismi" o quelli da scartare.
Mi spiego meglio con questi tre esempi: $ZZ_6^2, ZZ_9^2, ZZ_2 times ZZ_4$.
Il primo ad esempio non mi dà problemi: suddivido $ZZ_6^2$ nei suoi Sylow $ZZ_6^2 ~= ZZ_2^2 times ZZ_3^2$ ma questi ora hanno ordini coprimi dunque $Aut(ZZ_6^2 ) ~= Aut(ZZ_2^2) times Aut(ZZ_3^2) ~= GL_2(ZZ_3) times GL_2(ZZ_2)$.
Ora prendo il terzo per far capire proprio dove sono i miei dubbi;
$H=ZZ_2 times ZZ_4$ è generato $x_1 in ZZ_2$ e da $x_2 in ZZ_4$, ma allora $x_2$ deve essere mandato da un automorfismo in un elemento di ordine 4, mentre invece $x_1$ deve essere mandato in un elemento di ordine 2. In $H$ vi sono quattro elementi di ordine 4 e tre elementi di ordine 2, quindi dovrei avere al più 12 automorfismi...qui c'è l'inghippo. Devo controllare se tutte queste scelte sono possibili e quindi considerare anche che un automorfismo deve mandare in se stessi tutti i sottogruppi caratteristici. E' proprio qui che mi perdo...
Non dico che voglio trovare un metodo generale per risolvere queste tipologie di esercizi, ma almeno uno schema mentale o una delucidazione su come poter iniziare per affrontarli
Grazie in anticipo a chi vorrà aiutarmi

[Martino]

$H=ZZ_2 times ZZ_4$ è generato $x_1 in ZZ_2$ e da $x_2 in ZZ_4$, ma allora $x_2$ deve essere mandato da un automorfismo in un elemento di ordine 4, mentre invece $x_1$ deve essere mandato in un elemento di ordine 2. In $H$ vi sono quattro elementi di ordine 4 e tre elementi di ordine 2, quindi dovrei avere al più 12 automorfismi...qui c'è l'inghippo. Devo controllare se tutte queste scelte sono possibili e quindi considerare anche che un automorfismo deve mandare in se stessi tutti i sottogruppi caratteristici. E' proprio qui che mi perdo...

Prova a fare così.

Siano $A=ZZ//4ZZ$ generato da $t$, e $B=ZZ//2ZZ$. Per semplificare diciamo che $B$ è proprio il sottogruppo di $A$ generato da $2t$ (notazione additiva).

Ora prendiamo $f:A xx B to A xx B$. Possiamo comporre le inclusioni $A to A xx B$ (dato da $a to (a,0)$), $B to A xx B$ (dato da $b to (0,b)$) a sinistra e le proiezioni $A xx B to A$ (dato da $(a,b) to a$), $A xx B to B$ (dato da $(a,b) to b$) a destra, ottenendo quattro omomorfismi (la freccia di mezzo è sempre $f$).

$f_1: A to A xx B to A xx B to A$ è un endomorfismo di $A$,
$f_2: A to A xx B to A xx B to B$ è un omomorfismo $A to B$,
$f_3: B to A xx B to A xx B to A$ è un omomorfismo $B to A$,
$f_4: B to A xx B to A xx B to B$ è un endomorfismo di $B$.

Studiando gli omomorfismi $A to B$, $B to A$, $A to A$ e $B to B$ dovrebbe risultarti facile mostrare, anche se dopo qualche conto, che esistono $a_1,a_3 in A$ e $a_2,a_4 in B$ con la proprietà che $f_1(x)=a_1x$, $f_2(x)=2a_2x$, $f_3(x)=a_3x$ e $f_4(x)=a_4x$ e di conseguenza essendo $f(x,y)=f(x,0)+f(0,y)$ ottieni

$f(x,y) = (a_1x+a_3y,2a_2x+a_4y)$.

Ora non ti resta che da trovare condizioni sugli $a_i$ perché $f$ sia biiettivo. Queste condizioni ti permetteranno di caratterizzare gli automorfismi di $A xx B$ e quindi per esempio di contarli.

[nick_10]

Grazie per questa idea! Non l'avevo mai vista finora
Riesce però ad applicarsi bene anche per gruppi del tipo $ZZ_9^2$?

[Martino]

Sì perché no?

[nick_10]

Grazie! Ci provo