Sottogruppo di indice finito in un gruppo (e suo sottogruppo)

[gi88]

Buongiorno a tutti. Scusatemi, se abbiamo un sottogruppo $H$ di un gruppo $G$ e sappiamo che il sottogruppo $N_G(H)$ ha indice finito nel gruppo $G$, possiamo affermare che anche $H$ (che è contenuto in $N_G(H)$) ha indice finito nel gruppo $G$?
Vi ringrazio molto

[Martino]

No prendi $G=ZZ$ e $H={0}$.

[gi88]

Grazie. Allora perchè se abbiamo per ipotesi che $| G : N_G(H)|$ è finito e che $| G : N_G(K)|$ (con $K$ sottogruppo di $G$) è finito , risulta che anche $| G : N_G(H) nn N_G(K)|$ è finito??

[Martino]

Perché l'intersezione di due sottogruppi di G di indice finito ha sempre indice finito in G.

[gi88]

Grazie! Se abbiamo $M$ sottogruppo (di indice finito) di $G$ e contenente $H$ e se abbiamo che $|G:N_G(M)|$ è finito e $|M:N_M(H)|$ è finito, perchè $|G:N_G(H)|$ è finito?

[Martino]

Perché $N_G(H)$ contiene $N_M(H)$ che ha indice finito in G perché $|G:N_M(H)|=|G:M|*|M:N_M(H)|$.

[gi88]

Grazie.
Dal fatto che $|G:N_G(H)|$ è finito, si può affermare che preso un sottogruppo $L$ di $G$, anche $|L:N_L(H)|$ è finito?

[Martino]

Sì, ma questa non te la dimostro, sforzati almeno un po' devi giocare con gli indici come ho fatto sopra.

Ti dico una cosa che ti aiuterà a capire intuitivamente cosa succede: ricordati che dire che $|G:N_G(H)|$ è finito è equivalente a dire che $H$ ha un numero finito di coniugati in $G$.

[gi88]

Sì, ho pensato che poichè H ha un numero finito di coniugati in G ossia {$g^(-1)Hg, g in G$} è finito allora, poichè $L<=G$ , anche {$l^(-1)Hl, l in L$} è finito ossia H ha un numero finito di coniugati in L ossia $|L:N_L(H)|$ è finito. E' esatto?

[Martino]

Esatto.