Reticolo non modulare - osservazione conseguenza

[ti2012]

Salve. Chiedo scusa, se siamo nell'ipotesi che il reticolo dei sottogruppi virtualmente normali di un gruppo $G$ (un sottogruppo virtualmente normale è un sottogruppo che ha un numero finito di coniugati nel gruppo $G$) non è modulare. Allora esistono i sottogruppi $H$, $K$, $L$ virtualmente normali in $G$ tali che $H$ $<$ $K$, $H$ $vv$ $L$ = $K$ $vv$ $L$ e $H$ $^^$ $L$ = $K$ $^^$ $L$. Perchè valgono queste due uguaglianze $H$ $vv$ $L$ = $K$ $vv$ $L$ e $H$ $^^$ $L$ = $K$ $^^$ $L$ ?
Io ho pensato che essendo il reticolo suddetto non modulare, allora (usando la definizione di reticolo (non) modulare) si ha:
($H$ $vv$ $L$)$^^$ $K$ $!=$ $H$ $vv$ ($K$ $^^$ $L$) .
Allora se vado ad usare le due uguaglianze $H$ $vv$ $L$ = $K$ $vv$ $L$ e $H$ $^^$ $L$ = $K$ $^^$ $L$ in ($H$ $vv$ $L$)$^^$ $K$ $!=$ $H$ $vv$ ($K$ $^^$ $L$), abbiamo $H$ $!=$ $K$ (e quindi staremmo nella nostra ipotesi $H$ $<$ $K$).. Però ho il dubbio se le due uguaglianze $H$ $vv$ $L$ = $K$ $vv$ $L$ e $H$ $^^$ $L$ = $K$ $^^$ $L$ valgono per il ragionamento appena scritto.. Tanto gentilmente posso avere un aiuto?
Vi ringrazio tanto