Ciao a tutti, vorrei chiedervi se lo svolgimento di questo esercizio è corretto e come risolvere il terzo punto:
Sia G gruppo con ordine 75, non abeliano.
1)Trova il numero di sottogruppi di ordine 3 e i possibili ordini del centro.
Si ha che essendoci per i teoremi di Sylow un sottogruppo unico di ordine 25, sia esso N, questo è normale, perciò il numero di 3-Sylow è 25 perché se fosse 1 basterebbe decomporre in somma diretta il gruppo che sarebbe abeliano (dato che N lo è), da cui se un elemento non sta in N ha ordine 3. Gli ordini del centro sono 1 oppure 5 (15,25 li scarto perché il centro non ha indice primo, mentre se fosse 3 G sarebbe abeliano grazie alla normalità di N e del centro, e quindi avrei che G coincide col centro, assurdo).
2)Prova che ogni elemento di G è della forma $na^i$, dove $n\in N, a\in G\N, i=0,1,2$
È ovvio basta prendere uno dei sottogruppi di ordine 3, chiamiamolo H. Si ha $|NH|=75$, cioè G=NH, dato che è un sottogruppo (N è normale).
3)Se N ciclico provare che ci sono in G sottogruppi normali di ordine 5 e 15.
Qui è il mio problema. In N, essendo ciclico, vi è un solo sottogruppo di ordine 5 (generato dalla potenza quinta del generatore di N), sia esso L,ed è l'unico in G perciò è normale (ogni altro sottogruppo diverso da G è ciclico di ordine 3)Per quello di ordine 15 è facile vedere che esiste (ad esempio LH), ma la normalità come si prova? Tra l'altro non sono convinto della cosa perché un gruppo di ordine 15 è ciclico, perciò dovrei trovare un elemento di ordine 15 in G, ma non mi sembra di trovarlo dato che per ciò che si è visto ce ne sono 50 di ordine 3, 4 di ordine 5, 20 di ordine 25 e il neutro.
Grazie dell'eventuale aiuto