Esercizio gruppi

Messaggioda Reyzet » 08/09/2018, 13:08

Ciao a tutti, vorrei chiedervi se lo svolgimento di questo esercizio è corretto e come risolvere il terzo punto:
Sia G gruppo con ordine 75, non abeliano.
1)Trova il numero di sottogruppi di ordine 3 e i possibili ordini del centro.

Si ha che essendoci per i teoremi di Sylow un sottogruppo unico di ordine 25, sia esso N, questo è normale, perciò il numero di 3-Sylow è 25 perché se fosse 1 basterebbe decomporre in somma diretta il gruppo che sarebbe abeliano (dato che N lo è), da cui se un elemento non sta in N ha ordine 3. Gli ordini del centro sono 1 oppure 5 (15,25 li scarto perché il centro non ha indice primo, mentre se fosse 3 G sarebbe abeliano grazie alla normalità di N e del centro, e quindi avrei che G coincide col centro, assurdo).

2)Prova che ogni elemento di G è della forma $na^i$, dove $n\in N, a\in G\N, i=0,1,2$

È ovvio basta prendere uno dei sottogruppi di ordine 3, chiamiamolo H. Si ha $|NH|=75$, cioè G=NH, dato che è un sottogruppo (N è normale).

3)Se N ciclico provare che ci sono in G sottogruppi normali di ordine 5 e 15.

Qui è il mio problema. In N, essendo ciclico, vi è un solo sottogruppo di ordine 5 (generato dalla potenza quinta del generatore di N), sia esso L,ed è l'unico in G perciò è normale (ogni altro sottogruppo diverso da G è ciclico di ordine 3)Per quello di ordine 15 è facile vedere che esiste (ad esempio LH), ma la normalità come si prova? Tra l'altro non sono convinto della cosa perché un gruppo di ordine 15 è ciclico, perciò dovrei trovare un elemento di ordine 15 in G, ma non mi sembra di trovarlo dato che per ciò che si è visto ce ne sono 50 di ordine 3, 4 di ordine 5, 20 di ordine 25 e il neutro.

Grazie dell'eventuale aiuto :)
Ultima modifica di Reyzet il 13/09/2018, 13:19, modificato 1 volta in totale.
Reyzet
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 22 di 416
Iscritto il: 20/01/2018, 14:24

Re: Esercizio gruppi

Messaggioda Reyzet » 12/09/2018, 15:44

Up!
Reyzet
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 23 di 416
Iscritto il: 20/01/2018, 14:24

Re: Esercizio gruppi

Messaggioda Martino » 12/09/2018, 16:25

Ciao,

il punto 1 va bene ma per completarlo dovresti esibire un gruppo di ordine 75 con centro di ordine 1 e un gruppo di ordine 75 con centro di ordine 5.

Il punto 2 va bene, anche se la notazione $na^i$ è strana dato che $a in G//N$.

Sul punto 3, l'idea è mostrare che esiste un normale $M//L$ di ordine $3$ in $G//L$ e dedurre da questo che $M$ è normale in $G$ di ordine $15$. Dici che ci sono 50 elementi di ordine 3 ma in realtà ce ne sono solo 10 (il numero di 3-Sylow è 5).
Le persone che le persone che le persone amano amano amano.
Avatar utente
Martino
Moderatore globale
Moderatore globale
 
Messaggio: 7242 di 13035
Iscritto il: 21/07/2007, 10:48
Località: Brasilia

Re: Esercizio gruppi

Messaggioda Reyzet » 13/09/2018, 10:29

Grazie della risposta.
Per il punto 1 non avrei idea di come trovare questi gruppi sinceramente, visto che sono non abeliani, forse come sottogruppi di qualche $S_{n}$ ?
Per il 2 ho sbagliato a scrivere, non è il quoziente ma la differenza tra insiemi

Per il 3 hai ragione, non avevo pensato al teorema di corrispondenza tra sottogruppi. Quindi considero quel quoziente che ha ordine 15 e allora essendo abeliano e ciclico ammette un sottogruppo di ordine 3 normale della forma $π(M)=(ML)/L=M/L$, dove M sottogruppo normale di G contenente L e di ordine $3|L|=15$. Effettivamente non c'è altro modo credo, non mi viene in mente nessun modo per provare la normalità di quel sottogruppo...
Per i 3-sylow hai ragione, mi ero confuso ma come faccio a dire che sono 5 e non 25? E in questo caso l'unicità del gruppo di ordine 5 è ancora garantita?
Reyzet
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 24 di 416
Iscritto il: 20/01/2018, 14:24

Re: Esercizio gruppi

Messaggioda Martino » 13/09/2018, 11:32

Sul punto 1 ti faccio una domanda: se il centro ha ordine 5, chiamiamolo Z, cosa puoi dire di $G//Z$?

Capisci poi che resterebbe da esaminare il caso $|Z|=1$. I gruppi di ordine 75 potrebbero benissimo essere tutti abeliani. Il quesito posto in quel modo implica (secondo la mia interpretazione) che dovresti esibire un gruppo con centro banale per mostrare che esiste.

Reyzet ha scritto:Effettivamente non c'è altro modo credo, non mi viene in mente nessun modo per provare la normalità di quel sottogruppo...
Come nessun modo? L'hai dimostrato mi sembra.

Per i 3-sylow hai ragione, mi ero confuso ma come faccio a dire che sono 5 e non 25? E in questo caso l'unicità del gruppo di ordine 5 è ancora garantita?
Sono 5 perché dato un 3-Sylow P e un sottogruppo M di G di ordine 15 che contiene P, M ha ordine 15 quindi ha indice 5, e è contenuto nel normalizzante di P (perché è abeliano). Ma sappiamo che P non è normale quindi M è proprio uguale al normalizzante di P. Il numero di 3-Sylow è sempre uguale all'indice del normalizzante di un 3-Sylow, quindi è uguale a 5. L'unicità del sottogruppo di ordine 5 è ancora garantita perché il sottogruppo ciclico di ordine 25 continua ad essere l'unico sottogruppo di ordine 25.
Le persone che le persone che le persone amano amano amano.
Avatar utente
Martino
Moderatore globale
Moderatore globale
 
Messaggio: 7243 di 13035
Iscritto il: 21/07/2007, 10:48
Località: Brasilia

Re: Esercizio gruppi

Messaggioda Reyzet » 13/09/2018, 12:13

Allora $G/Z$ è ciclico di ordine 15, quindi se non sbaglio quando questo quoziente è ciclico G è abeliano e allora G=Z, e quindi è assurdo. Giusto?
Per quello di ordine 1 ho cercato un po' su internet e ho visto che è un po' laborioso e richiede prodotti semidiretti, che abbiamo trattato poco, quindi non credo sia richiesto (è un esercizio di esame), comunque certamente approfondirò. Per cui alla fine i gruppi di ordine 75 sono 3 a meno di isomorfismi, cioè due abeliani e questo con centro banale.
Per quanto riguarda la cosa del normalizzante non conoscevo queste proprietà, sapevo solo la definizione :(

(Comunque intendevo dire che non ho altri modi in mente oltre a quello)
Reyzet
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 25 di 416
Iscritto il: 20/01/2018, 14:24

Re: Esercizio gruppi

Messaggioda Martino » 13/09/2018, 15:40

Sì l'avevo capito, dicevo solo che secondo me enunciare l'esercizio in quel modo è molto rischioso perché può apparire chiaro per chi pone il quesito ma se l'esame poi passa per le mani di qualcun altro che lo legge alla lettera (come ovviamente va letta qualsiasi cosa) allora la tua risposta che il centro di un tale gruppo è banale verrebbe considerata incompleta, perché non hai mostrato che il centro può avere ordine 1, hai solo mostrato che se G non è abeliano il suo centro ha ordine 1 (il che non implica che esista un tale gruppo con centro di ordine 1). Insomma sto criticando chi ha scritto il testo dell'esercizio, e secondo me sarebbe ottimo se tu chiedessi chiarimenti (le cose devono essere oggettive e inequivocabili).

Inoltre è vero che i gruppi di ordine 75 sono tre a meno di isomorfismi ma anche questo va dimostrato e in particolare potrebbe esserci più di un gruppo di ordine 75 con centro banale (in realtà ce n'è solo uno, ma questo va dimostrato).

Il tuo argomento sul fatto che Z non può avere ordine 5 è corretto.
Le persone che le persone che le persone amano amano amano.
Avatar utente
Martino
Moderatore globale
Moderatore globale
 
Messaggio: 7244 di 13035
Iscritto il: 21/07/2007, 10:48
Località: Brasilia

Re: Esercizio gruppi

Messaggioda Reyzet » 13/09/2018, 16:33

Capisco la tua obiezione, perché in realtà moltissime tracce che ho trovato da questo prof sono ambigue di solito, purtroppo.
Ti ringrazio della disponibilità, e anzi già che ci sono ne approfitto per chiedere se questo esercizio, per quanto banale, è giusto:
Sia G un gruppo di ordine 72, per cui esista un omomorfismo suriettivo $f$ in $Z_{9}$ e uno $h$ suriettivo in $Z_{3} \times Z_{3}$. Provare che $ker f=ker h$.

Chiaramente l'ordine dei nuclei è 8, siccome entrambi sono normali (chiamiamoli rispettivamente F e H)posso considerare il sottogruppo prodotto FH di ordine $64/|K|$, dove K è l'intersezione tra i due sottogruppi, che può avere ordine 1,2,4,8. Se fosse diversa da 8 però gli ordini di FH sarebbero 64,32,16 che non dividono $|G|=72$ contro il teorema di Lagrange, allora $|K|=8$ e quindi $F=H$. È giusto?
Reyzet
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 26 di 416
Iscritto il: 20/01/2018, 14:24

Re: Esercizio gruppi

Messaggioda Martino » 13/09/2018, 18:16

Sì è giusto, ma più semplicemente se un sottogruppo di ordine 8 è normale allora è l'unico sottogruppo di ordine 8 (è un 2-Sylow normale) quindi è uguale ai due nuclei.

Comunque è un esercizio stranissimo perché ovviamente non possono esistere $f$ e $h$ come scritto, se esistessero ovviamente $G//ker(f)$ sarebbe uguale a $G//ker(h)$, d'altro canto per il teorema di isomorfismo $G//ker(f)$ è isomorfo a $ZZ_9$ e $G//ker(h)$ è isomorfo a $ZZ_3 xx ZZ_3$, quindi non possono essere uguali.

Ma chi li scrive questi esercizi? :) per carità
Le persone che le persone che le persone amano amano amano.
Avatar utente
Martino
Moderatore globale
Moderatore globale
 
Messaggio: 7246 di 13035
Iscritto il: 21/07/2007, 10:48
Località: Brasilia


Torna a Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 1 ospite