Dimostrazione sulla cardinalità di un insieme

[Galad]

Buongiorno a tutti.
Scusate se vi disturbo, ma sto impazzendo con una dimostrazione, che non riesco nemmeno a iniziare.
Qualcuno potrebbe aiutarmi?
Questo è il testo dell'esercizio.
Dimostrare che se Y è un insieme infinito e X è tale che |X| ≤ |Y |, allora |X ∪ Y | = |X × Y | = |Y |.
Grazie mille

Moderatore: Martino

Ho sistemato il messaggio (è fortemente suggerito usare il carattere "è" o un "e" seguito da un apostrofo per "e con l'accento"). Vedasi qui per il corretto uso delle formule.

[marco2132k]

Ciao! Comincia con l'editare il messaggio, ti è probabilmente scappato un "$" da qualche parte.

Prova a buttare giù le definizioni di insieme infinito, di \(\leq\) quando sta in mezzo a due cardinali, di \(\lvert X\times Y\rvert\) per \(X\) e \(Y\) insiemi ecc.. e le discutiamo.

[Galad]

Grazie mille per la risposta.
Allora un insieme è infinito se abbiamo che N è un preordine su quel’insieme.
|X|≤|Y| significa che X si inietta in Y.
Per |X x Y| is intende la cardinalità del prodotto cartesiano tra i due. Ora io so che |X x X| = |X| però non so come andare avanti.
È tutto giusto?

[marco2132k]

|X|≤|Y| significa che X si inietta in Y.

Per il teorema di Schröder–Bernstein, se \(\lvert X \cup Y \rvert \le \lvert X \times Y\rvert\) e contemporaneamente \(\lvert X \times Y\rvert \le \lvert X \cup Y \rvert\) allora i due insiemi hanno la stessa cardinalità (a.k.a. \((\mathfrak U,\leq)\), dove \(\mathfrak U\) è qualche insieme universo che può essere \(\mathcal{P}(E) \supset X,Y\), è un poset).

Quello che farei io è dimostrare che esistono due funzioni (iniettive, non cercarle necessariamente biiettive) \( X \cup Y \to X \times Y\) e \(X \cup Y \leftarrow X \times Y\), rispettivamente; da qui puoi dedurre la tesi.

= |Y |

Per \(A\), \(B\) infiniti, in generale \(\lvert A \times B\rvert = \operatorname{max}(\lvert A\rvert,\lvert B\rvert)\).

EDIT: Ho corretto tipo molti errori di battitura e altre cose.

[Galad]

Grazie mille.
Il mio problema è che non riesco a dimostrare l'iniezione e quindi a dedurre la tesi.
scusa se è banale ma non ci arrivo.

[marco2132k]

Per quanto detto prima \(\lvert X\times Y\rvert = \lvert Y\rvert\); inoltre, se \(\lvert X\rvert \leq \lvert Y\rvert\) e \(Y\) è infinito, allora \(\lvert X \cup Y\rvert \leq \lvert Y\rvert + \lvert Y\rvert = \lvert Y\rvert\), perché ipotesi. Ma evidentemente è anche \(\lvert Y \rvert \leq \lvert X\cup Y\rvert\) e, finalmente, \(\lvert X\cup Y\rvert = \lvert Y\rvert\). Esiste quindi una funzione biiettiva \(X\times Y \to X\cup Y\) (la composizione passando attraverso \(Y\)).

Ovviamente non ho idea di fino a che punto scendere nel dettaglio: l'aritmetica dei cardinali, si riesce a reperire un po' ovunque, anche se la dimostrazione di alcuni fatti non è sempre banalissima (ai miei occhi di studentello, ovvio )

[Galad]

Grazie mille ora ho capito. Mi mancava il passaggio riguardante il prodotto cartesiano.
Grazie ancora.