Gruppo alterno $A_n$

Messaggioda ti2012 » 08/09/2018, 21:50

Salve. Chiedo scusa, perchè il gruppo alterno su un insieme numerabile contiene una copia del gruppo alterno su 4 elementi, e perchè quest'ultimo risulta essere un gruppo non modulare?
Grazie grazie grazie mille
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Re: Gruppo alterno $A_n$

Messaggioda Martino » 09/09/2018, 12:51

Il gruppo alterno di grado $4$ non è modulare perché contiene il seguente sottoreticolo: $A_4$, $K$ (gruppo di Klein), un sottogruppo di $K$ di ordine $2$, un $3$-Sylow e ${1}$ (è un reticolo pentagonale). Ogni gruppo alterno contiene tutti quelli di grado inferiore, perché se un gruppo $G$ agisce su un insieme $X$ e $X$ è sottoinsieme di $Y$ possiamo estendere l'azione di $G$ a $Y$ imponendo che tutti gli elementi di $Y-X$ vengano fissati.

Critica costruttiva: perché non provi a buttare giù qualche idea quando poni un quesito? :) non sono cose difficili, se non provi a pensarci i progressi saranno lenti.
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Re: Gruppo alterno $A_n$

Messaggioda ti2012 » 09/09/2018, 16:44

E' che le idee sono non giuste, non corrette in quanto non portano al risultato e per questo non le scrivevo :oops: chiedo umilmente scusa, la domanda del contenere la copia del gruppo alterno di 4 elementi non ci doveva essere, cioè l'avevo scritta giusto per un confronto con voi ma la volevo togliere..però nel gran mal di testa mi è sfuggito di cancellare il "perchè" relativo a tale domanda :oops:
Per la spiegazione della non modularità, chiedo umilmente un consiglio..Tenendo presente la definizione del gruppo alterno, quindi parlando di permutazioni, del gruppo simmetrico $S_n$, quale era la strada che mi conduceva a pensare di dover prendere in particolare il gruppo di Klein, un suo sottogruppo di ordine 2, un 3-Sylow? :oops:
Grazie mille per l'attenzione e la disponbilità
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Re: Gruppo alterno $A_n$

Messaggioda Martino » 09/09/2018, 16:51

Quando mi pongo la domanda "il reticolo di A4 è modulare?" prima di tutto cerco su google se trovo il disegno del reticolo, perché dal disegno capisci immediatamente se il reticolo è modulare. La prima ricerca su Google dà questo. Dal disegno riesci a dedurre se è modulare? Dopo aver capito dal disegno cosa succede ti ho scritto quei cinque sottogruppi.
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Re: Gruppo alterno

Messaggioda ti2012 » 25/09/2018, 16:28

Chiedo scusa, c'è scritto anche che poichè il gruppo alterno su un insieme numerabile è un gruppo infinito semplice (ossia tale che gli unici suoi sottogruppi normali sono i sottogruppi banali {1} e il gruppo alterno stesso), allora ciò implica che il reticolo dei sottogruppi virtualmente normali di tale gruppo è modulare (un sottogruppo virtualmente normale è un sottogruppo che ha un numero finito di coniugati nel gruppo). Perchè si ha ciò?
Io ho pensato che possiamo sfruttare l'ipotesi di gruppo semplice e il fatto che i sottogruppi normali sono sottogruppi virtualmente normali. Però ho pensato che tra i sottogruppi virtualmente normali ci sono anche i sottogruppi di indice finito..
Con queste ipotesi però non sono riuscita a dimostrare perchè il reticolo dei sottogruppi virtualmente normali del gruppo alterno su un insieme numerabile è modulare..
Dipende da qualche teorema che non conosco o non ricordo ora :(?
Grazie immensamente
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Re: Gruppo alterno

Messaggioda ti2012 » 26/09/2018, 21:54

Scusami, in base al disegno presente in https://math.stackexchange.com/question ... oups-of-a4, abbiamo 3 sottogruppi di ordine 2? Se sì, un elemento di un reticolo pentagonale può essere formato da tre sottogruppi?
Grazie mille
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Re: Gruppo alterno $A_n$

Messaggioda Martino » 26/09/2018, 22:00

Un reticolo pentagonale è un reticolo che ha la forma di un pentagono :) quindi ha 5 vertici e 5 lati.

Comunque la questione che hai sollevato è trattata qui.
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Re: Gruppo alterno

Messaggioda ti2012 » 27/09/2018, 10:28

:D però il mio dubbio è:
Premetto che in generale in un reticolo pentagonale {$x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$} , se consideriamo ad esempio $x_2$, sappiamo che $x_2$ $<=$ $x_3$. Nel nostro caso l'elemento $x_2$ sarebbe l'elemento costituito dai tre sottogruppi di ordine 2 presenti in https://math.stackexchange.com/question ... oups-of-a4. Quindi dire che l'elemento costituito dai tre sottogruppi di ordine 2 è $<=$ $x_3$ corrispondente al gruppo di Klein vuol dire che ciascuno dei (tre) sottogruppi di ordine 2 è un sottogruppo del gruppo di Klein?
Grazie
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Re: Gruppo alterno $A_n$

Messaggioda Martino » 27/09/2018, 11:05

Ma no! $x_2$ è uno dei tre sottogruppi di ordine 2. Uno qualsiasi. Per esempio <(14)(23)>.
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Re: Gruppo alterno

Messaggioda ti2012 » 28/09/2018, 17:23

Sì, certooo, scusami :D ho fatto una gaffe :D
Scusami, ho un dubbio sulla definizione di gruppo alterno su un insieme numerabile.. Per quanto studiato e cercando su varie fonti, per gruppo alterno si parla sempre e solo di gruppo alterno $A_n$ come sottogruppo del gruppo simmetrico $S_n$ dove il gruppo simmetrico $S_n$ è l'insieme delle permutazioni dell'insieme finito $I_n$ = {1,....,n}. $A_n$ è per definizione l'insieme delle permutazioni pari di $S_n$..
Per quanto riguarda il gruppo alterno su insieme numerabile quindi infinito, la sua definizione è identica a quella data per $A_n$ , solo che bisogna considerare un insieme infinito (numerabile) al posto di $I_n$ = {1,....,n} ?
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