Azione fedele di un gruppo finito

[gio..]

Buongiorno, mi sono imbattuto in questo esercizio di Algebra che purtroppo non riesco a risolvere.

"Sia $G$ un gruppo di ordine 15 che opera fedelmente su un insieme $X$ di cardinalità 15. Si provi che $G$ è transitivo su $X$, oppure ha almeno un punto fisso."

Ho ragionato dicendo che sicuramente esiste un gruppo di ordine 15 che opera fedelmente su se stesso (ad esempio Z/15Z ) ed è transitivo, quindi devo dimostrare che se ho un gruppo che opera fedelmente ma in modo non transitivo, allora esiste almeno un punto fisso.
A questo punto noto che se esistesse un punto fisso, ne dovrebbero esistere almeno atri due, per rispettare il fatto che la somma delle lunghezze delle orbite è uguale alla cardinalità dell'insieme $X$.
Dopo queste considerazioni non riesco più ad andare avanti, anche se sospetto che ci sia qualcosa di terribilmente banale che mi sfugge

Grazie in anticipo a tutti

[Martino]

Ti suggerisco di osservare che se non ci sono punti fissi allora tutte le orbite devono avere la stessa lunghezza. E poi di pensare al nucleo dell'azione su ciascuna orbita.

[gio..]

Allora ci sono sulle orbite di lunghezza uguale, 3 orbite di lunghezza 5 o 5 orbite di lunghezza 3.
Non capisco però come usare il nucleo dell'azione. So che se è fedele deve essere banale, quindi se sto ragionando per assurdo dovrei arrivare a dire che in realtà non è così e c'è un altro elemento di $G$ che fissa ogni punto.
Ho provato a scrivermi l'immagine di $G$ come sottogruppo di $Sym(15)$, ed effettivamente è un sottogruppo solamente se ci sono almeno 3 punti fissi: vedo $G$ come ${Id,(123),(132),(456),(465),(789),(798),(10\ 11\ 12),(10\ 12\ 11),(13\ 14\ 15),(13\ 15\ 14), (12),(13),(23), ?? }$ e in questo caso vedo che se non lascio punti fissi mi trovo che devo avere un'altra volta l'dentità per far tornare i conti, però non riesco a generalizzare

[Martino]

Supponi per esempio che le orbite abbiano tutte lunghezza 3. Significa che gli stabilizzatori hanno tutti ordine 5. Adesso se conosci il teorema di Sylow sai che un sottogruppo di ordine 5 di un gruppo di ordine 15 è sempre normale (e l'unico del suo ordine). Quindi gli stabilizzatori sono uguali tra loro e questo contraddice la fedeltà dell'azione.

Se non conosci il teorema di Sylow dobbiamo trovare una dimostrazione alternativa.

Comunque ti suggerisco il seguente esercizio: se il gruppo abeliano finito $G$ agisce su un insieme $X$ in modo transitivo e fedele allora gli stabilizzatori sono banali.

È rilevante perché i gruppi di ordine 15 sono tutti abeliani (e in realtà ciclici).

[gio..]

Ok ci sono per la dimostrazione con sylow, grazie mille

Ho provato a risolvere l'altro esercizio, e qua ho ancora difficoltà. Riesco ovviamente nel caso in cui l'ordine di $G$ è prodotto di numeri primi, generalizzando il caso di prima.
So che essendo abeliano i sottogruppi sono tutti normali, e ho provato a procedere per assurdo come prima dicendo che l'azione è transitiva ha un'unica orbita, quindi trovo l'ordine dello stabilizzatore. Senza ipotesi sull'ordine del gruppo però non riesco a trarre conclusioni utili o usare teoremi come quelli di sylow

Mi basta anche un suggerimento su come procedere, ho l'esame domani e ogni aiuto è utile, grazie mille:)

[Martino]

Quale altro esercizio? Quello che ti ho proposto? Prova così: fissato $x in X$ gli elementi di $X$ hanno la forma $y=hx$ con $h in G$. Ora dato $g in G$ con $gx=x$ mostra che $gy=y$.

[gio..]

Ok dovrei aver capito:
Innanzitutto $gy=g(hx)=(gh)x=(hg)x=h(gx)=y$
Quindi $g$ sta nello stabilizzatore di ogni punto di $X$. Se ci fosse un altro elemento $k$ in $G$ che fissa un punto $x$, allora fisserebbe anche tutti gli altri punti di $X$, ma l'azione è fedele quindi l'unica possibilità è che $g=Id$ sia unico.

Grazie mille per l'aiuto!