Esercizio sulle orbite

[Jhonny777]

$ |S|= \sum|G.s| =\frac{ |G|}{|Gs|} $Buon giorno , sto studiando algebra ma mi sa che ce qualcosa che non mi è chiaro chiedo aiuto attraverso questo esercizio:
Sia $G$ un gruppo di ordine $2006$ e sia data un azione di G su un insieme $S$ di ordine $20$.
a) Provare che $G$ ha almeno 3 orbite su $S$.
b) Si dica qual è il numero delle orbite in caso $G$ non abbia punti fissi.

a) I divisori di 2006 sono ${1,2,17,34,59,118,1003,2006}$ Per l'eq delle orbite $|S|= \sum|G.s| =\sum\frac{ |G|}{|Gs|}$
con$Gs$= stabilizatore. Cosi dico che se $|G.s|=17 \Rightarrow |Gs|=118 , |G.s|=2 \Rightarrow |Gs|=1003 , |G.s|=1 \Rightarrow |Gs|=2006$. Cosi l'equazione è soddisfatta ed ho trovato le 3 orbite
b)Qua ho le idee confuse, se G non ha punti fissi allora non vuol dire che $Gs ={1}$ ? Pero cosi l'equazione sarebbe impossibile.
Se qualcuno mi può spiegare questo passaggio lo ringrazio molto

[gio..]

se G non ha punti fissi allora non vuol dire che Gs={1} ?

Non credo, un punto dell'insieme può avere uno stabilizzatore non banale ma non essere un punto fisso, perchè viene spostato da altri elementi del gruppo che non appartengono allo stabilizzatore.

Per determinare il numero di orbite ragionerei considerando le possibili lunghezze delle orbite. Sicuramente la lunghezza di un'orbita sarà 1, 2, o 17 (deve essere minore di 20 e dividere 2006). Se una avesse lunghezza 17, dovrei necessariamente averne un'altra di lunghezza 1 per soddisfare l'equazione delle orbite (17+1+2=20). Ma quindi avrei un punto fisso, assurdo.
Rimangono "utilizzabili" solo le orbite di lunghezza 2, quindi ce ne sono 10.

[Jhonny777]

Capito, grazie!!!!