$ |S|= \sum|G.s| =\frac{ |G|}{|Gs|} $Buon giorno , sto studiando algebra ma mi sa che ce qualcosa che non mi è chiaro chiedo aiuto attraverso questo esercizio:
Sia $G$ un gruppo di ordine $2006$ e sia data un azione di G su un insieme $S$ di ordine $20$.
a) Provare che $G$ ha almeno 3 orbite su $S$.
b) Si dica qual è il numero delle orbite in caso $G$ non abbia punti fissi.
a) I divisori di 2006 sono ${1,2,17,34,59,118,1003,2006}$ Per l'eq delle orbite $|S|= \sum|G.s| =\sum\frac{ |G|}{|Gs|}$
con$Gs$= stabilizatore. Cosi dico che se $|G.s|=17 \Rightarrow |Gs|=118 , |G.s|=2 \Rightarrow |Gs|=1003 , |G.s|=1 \Rightarrow |Gs|=2006$. Cosi l'equazione è soddisfatta ed ho trovato le 3 orbite
b)Qua ho le idee confuse, se G non ha punti fissi allora non vuol dire che $Gs ={1}$ ? Pero cosi l'equazione sarebbe impossibile.
Se qualcuno mi può spiegare questo passaggio lo ringrazio molto