Esame di Algebra

[JoeBlack22]

Allora vorrei preparare un esame di algebra, che però per vari motivi non ho potuto seguire il corso.. Ogni tanto guardo qualcosa su internet però vorrei capire almeno come impostare gli esercizi..

La traccia è questa:
https://docenti.unisa.it/uploads/rescue ... opia-2.pdf

Le tipologie sono tutte simili e vorrei provare a fare un passaggio alla volta..

Per vedere che è un sottogruppo vedo che l'elemeno neutro appartiere
$ ( ( 1 , 0 ),( 0 , 1 ) ) $
E' ovvio perchè 1∈Z3 con a e c diversi da 0

Che esiste il simmetrico moltiplicando due matrici e ponendole uguali alla matrice identica mi esce
ax=1
ay+bz=0
cz=1
Quindi dovrebbe dare x=1/a z=1/c e y=-b/(ac)
Come dico che appartenono al sottogruppo?

Per vedere che è chiuso rispetto all'operazione io so che axè diverso da 0 e cz è diverso da 0.. quindi è chiusa

La cardinalità vedo i casi possibili.. a=2 b=3 c=2 quindi sarà 2x3x2= 12
Per vedere chè è abeliano facendomi i due prodotti i valori a e c mi trovo gli stessi.. mentre il valore di b mi esce da una parte ay+bz dall'altra bx+cy. Quindi non è abeliano.

FIn qui ci siamo? o sbaglio qualosa?

[otta96]

ax=1
ay+bz=0
cz=1
Quindi dovrebbe dare x=1/a z=1/c e y=-b/(ac)
Come dico che appartengono al sottogruppo?

Elementi invertibili sono sempre non nulli.

Per vedere che è abeliano facendomi i due prodotti i valori a e c mi trovo gli stessi.. mentre il valore di b mi esce da una parte ay+bz dall'altra bx+cy. Quindi non è abeliano.

Dovresti far vedere con un esempio che i risultati possono venire diversi, se mantieni il discorso in generale sai solo che quei termini hanno due espressioni possibili diverse, ma magari, chissà, per puro caso se sostituisci i valori che puoi sostituire i valori che ti vengono sono sempre uguali, bisogna quindi trovare un controesempio esplicito.
Per il resto fin qui va bene.
P.S. Il testo è sbagliato, infatti non ha senso (cioè, in un esercizio di questo tipo) la condizione $(a,c)!=(\bar{0},\bar{0})$ perché così non verrebbe nemmeno un gruppo, la cosa che il testo voleva dire è che sia $a$ che $c$ devono essere diversi da $0$, che poteva dire così $ac!=0$ ($ZZ_3$ è un campo, in particolare un dominio). Ad ogni modo tu questa ipotesi l'hai usata bene (forse per un fortuito errore? ), era solo per precisare la cosa che ho fatto questo P.S.

[JoeBlack22]

Allora se devo fare un controesempio posso usare le matrici $ ( ( 1 , 1 ),( 0 , 1 ) ) $ $ ( ( 2 , 1 ),( 0 , 1 ) ) $
Facendo i calcoli si vede che non è aneliamo perché nella prima riga e seconda colonna esce da una parte 2 e da una parte 0

Poi il secondo punto non sono sicuro.. per ordine mi chiede il periodo degli elementi?

Il terzo punto l’ho fatto, credo di trovarmi ma credo ci sia un procedimento più breve perché il mio è molto meccanico..
Ho elevato l’elemento al quadrato di mi esce:
a^2=1 (quindi sia 1 che 4)
(a+c)b=0 (sia 0 sia 3 sia 6)
c^2=1

Quindi mi esce che a e c possono essere uguali a 1 e 2
Mentre b ho studiato i vari casi: se a e c sono 1 b può essere solo 0
Se a e c sono 2, b può essere solo 0
Se a è 1 e c è 2 (o viceversa), allora b può essere sia 0 sia 1 sia 2

Quindi sono 8 elementi

Mentre facendo il cubo mi esce
a^3=1
(a^2 + a + c^2)b =0
c^3=1

Essendo a e c per forza 1
b può essere qualsiasi elemento essendo a^2 + a + c^2=3
Quindi ci sono 3 elementi

[JoeBlack22]

Qualcuno può darmi una mano?