Divisori di $p^2-1$ congruenti a $1$ modulo $p$

[Martino]

Stavo pensando: se $p$ è un primo è vero che gli unici divisori di $p^2-1$ congruenti a $1$ modulo $p$ sono $1$ e $p+1$? Non riesco a trovare controesempi. Sto pensando a una dimostrazione, qualcuno ha idee?

[dan95]

Ho buttato giù qualcosa...


Chiaramente se $d$ è un divisore proprio di $p+1$ o $p-1$ non può essere di quella forma in quanto $1<d<p+1$. Ora supponiamo che esistano due divisori propri $m$ e $n$ rispettivamente di $p+1$ e $p-1$ tali che

$mn \equiv 1 \mod p \Rightarrow mn=1+pk$

E chiamiamo $m'$ e $n'$ due numeri tali che $mm'=p+1$ è $nn'=p-1$, allora per ogni elemento $a \in (\mathbb{Z}//p\mathbb{Z})^{\ast}$ risulta

$a^{p^2-1}=a^{(k+1)n'm'} \equiv a^{(k+1)n'} \equiv 1 \mod p$

Ora, $k+1 \geq n$ inoltre la relazione vale per ogni $a$ dunque necessariamente $n| k+1$ chiamiamo $s$ tale che $ns=k+1$ allora $(m-s)n=(p-1)k$ d'altra parte $m-s<p-1$, dunque se $n<k+1$ chiaramente vale anche $n<k$ (perché $n|k+1$ e $n \ne 1$) e quindi $(m-s)n<(p-1)k$, assurdo. Quindi necessariamente $n=k+1$.

Tuttavia se $mn=1+pk$ allora $m'n'=p-1+ph$ quindi

$a^{(k+1)m'n'} \equiv a^{(k+1)h} \equiv 1 \mod p$

Per ogni $a$ quindi $p-1|(k+1)h=nh$ ma $h < n'$ quindi $p-1>(k+1)h$ assurdo.

Conclusione l'unica possibilità è che $n=1$.