Sottogruppi normali e virtualmente normali di un gruppo- Modularità

Messaggioda Pama » 14/09/2018, 17:13

Buonasera.
Ho studiato che il reticolo dei sottogruppi normali di un gruppo è modulare, quindi che i sottogruppi normali di un gruppo sono modulari. Sugli appunti trovo che anche i sottogruppi virtualmente normali di un gruppo sono modulari.
Io ho verificato che un sottogruppo normale di un gruppo G è virtualmente normale in G ossia ha un numero finito di coniugati in G.
Allora il fatto che anche i sottogruppi virtualmente normali sono modulari viene dal fatto che un sottogruppo normale di un gruppo G è virtualmente normale e dal fatto che i sottogruppi normali di un gruppo sono modulari?
Grazie
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Re: Sottogruppi normali e virtualmente normali di un gruppo- Modularità

Messaggioda vict85 » 14/09/2018, 18:43

Cosa intendi con sottogruppo virtualmente normale? Non ne ho mai sentito parlare.
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Re: Sottogruppi normali e virtualmente normali di un gruppo- Modularità

Messaggioda Pama » 15/09/2018, 11:10

Come scritto nel primo messaggio, un sottogruppo H virtualmente normale in G è un sottogruppo che ha un numero finito di coniugati in G ossia equivalentemente è un sottogruppo il cui normalizzante ha indice finito in G (ossia $|G:N_G(H)|$ è finito).
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Re: Sottogruppi normali e virtualmente normali di un gruppo- Modularità

Messaggioda Martino » 15/09/2018, 15:02

Pama ha scritto:Sugli appunti trovo che anche i sottogruppi virtualmente normali di un gruppo sono modulari.
Se fosse vero tutti i gruppi finiti sarebbero modulari (perché in un gruppo finito tutti i sottogruppi sono virtualmente normali).

Che ne dici di scriverci per bene qual è il risultato che vuoi dimostrare? :) Ovvero:

1. Comincia scrivendo la definizione di gruppo modulare.

2. Scrivi poi i risultati di cui sei a conoscenza.

3. Scrivi poi il risultato che vuoi dimostrare.

4. Scrivi poi quello che hai provato a fare per dimostrarlo.

:)
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Re: Sottogruppi normali e virtualmente normali di un gruppo- Modularità

Messaggioda Pama » 25/09/2018, 15:19

1) Un gruppo è modulare se e solo se il reticolo dei sottogruppi di tale gruppo è modulare.
2)So che i sottogruppi normali sono modulari (unica ipotesi di cui sono a conoscenza)
3) Dimostrare che anche i sottogruppi virtualmente normali sono modulari
4) Ho verificato che un sottogruppo normale di un gruppo G è virtualmente normale in G ossia ha un numero finito di coniugati in G. Dunque ho pensato che il fatto che anche i sottogruppi virtualmente normali sono modulari è conseguenza del fatto che un sottogruppo normale di un gruppo G è virtualmente normale e che i sottogruppi normali di un gruppo sono modulari..
Grazie mille
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Re: Sottogruppi normali e virtualmente normali di un gruppo- Modularità

Messaggioda Martino » 25/09/2018, 17:59

Non si capisce.

Vuoi dimostrare una delle seguenti due cose? Se sì quale?

1. Se i sottogruppi normali di G sono modulari (cioè hanno il reticolo dei sottogruppi modulare) allora i sottogruppi virtualmente normali di G sono modulari (cioè hanno il reticolo dei sottogruppi modulare).

2. Se il reticolo dei sottogruppi normali di G è modulare allora il reticolo dei sottogruppi virtualmente normali di G è modulare.

Se nessuna delle due, cosa vuoi dimostrare?

Aiuterebbe moltissimo se tu ci dessi un link alle dispense o il nome del libro che stai seguendo. Ti avviso soltanto che veramente non capisco quasi niente di quello che scrivi. Per esempio dici "So che i sottogruppi normali sono modulari (unica ipotesi di cui sono a conoscenza)". Questa è un'ipotesi o un risultato che hai dimostrato?
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Re: Sottogruppi normali e virtualmente normali di un gruppo- Modularità

Messaggioda Pama » 25/09/2018, 19:29

Dimostrare che i sottogruppi virtualmente normali di un gruppo sono modulari (sapendo che i sottogruppi normali di un gruppo sono modulari).
Non ho nè il link nè il libro, mi dispiace :(
Ho dimostrato che i sottogruppi normali sono modulari. Chiedo scusa, per "unica ipotesi di cui sono a conoscenza" intendevo dire unico risultato dimostrato e unica ipotesi che ho
Grazie
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Re: Sottogruppi normali e virtualmente normali di un gruppo- Modularità

Messaggioda Martino » 25/09/2018, 21:08

Scusa ma quando dici "sottogruppo modulare" intendi modulare nel reticolo dei sottogruppi di G? (Come spiegato qui).

Inoltre quale delle due cose che ho scritto vuoi dimostrare?
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Re: Sottogruppi normali e virtualmente normali di un gruppo- Modularità

Messaggioda dan95 » 26/09/2018, 07:58

Credo di aver capito cosa intendi...

Devi dimostrare che ogni sottogruppo virtualmente normale di G è modulare.

Tu asserisci che tutti i sottogruppi normali (quindi virtualmente normali perché normalità => virtuale normalità) sono modulari ma questo non ti fa concludere che lo siano anche i sottogruppi virtualmente normali perché possono esserci sottogruppi virtualmente normali che non sono normali.
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Re: Sottogruppi normali e virtualmente normali di un gruppo- Modularità

Messaggioda Martino » 26/09/2018, 10:32

Sì dan su quello siamo d'accordo, ma ci sono tantissime definizioni e non capisco quale stia essendo usata.

Sottogruppo modulare =

Modulare in quanto elemento del reticolo dei sottogruppi (come da link wiki che ho messo sopra) - osservo che quando si dice che i sottogruppi normali sono modulari secondo me ci si riferisce a questa definizione.

Oppure

Modulare in quanto elemento del reticolo dei sottogruppi normali

oppure

Modulare in quanto elemento del reticolo dei sottogruppi virtualmente normali

Oppure

Sottogruppo che in quanto gruppo è modulare (cioè ha reticolo dei sottogruppi modulare)

Inoltre aiuterebbe sapere se alcune di queste definizioni coincidono tra loro.
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