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Buonasera.
Ho studiato che il reticolo dei sottogruppi normali di un gruppo è modulare, quindi che i sottogruppi normali di un gruppo sono modulari. Sugli appunti trovo che anche i sottogruppi virtualmente normali di un gruppo sono modulari.
Io ho verificato che un sottogruppo normale di un gruppo G è virtualmente normale in G ossia ha un numero finito di coniugati in G.
Allora il fatto che anche i sottogruppi virtualmente normali sono modulari viene dal fatto che un sottogruppo normale di un gruppo G è virtualmente normale e dal fatto che i sottogruppi normali di un gruppo sono modulari?
Grazie

Cosa intendi con sottogruppo virtualmente normale? Non ne ho mai sentito parlare.

Come scritto nel primo messaggio, un sottogruppo H virtualmente normale in G è un sottogruppo che ha un numero finito di coniugati in G ossia equivalentemente è un sottogruppo il cui normalizzante ha indice finito in G (ossia $|G:N_G(H)|$ è finito).

Pama ha scritto:Sugli appunti trovo che anche i sottogruppi virtualmente normali di un gruppo sono modulari.

Se fosse vero tutti i gruppi finiti sarebbero modulari (perché in un gruppo finito tutti i sottogruppi sono virtualmente normali).

Che ne dici di scriverci per bene qual è il risultato che vuoi dimostrare? Ovvero:

1. Comincia scrivendo la definizione di gruppo modulare.

2. Scrivi poi i risultati di cui sei a conoscenza.

3. Scrivi poi il risultato che vuoi dimostrare.

4. Scrivi poi quello che hai provato a fare per dimostrarlo.

1) Un gruppo è modulare se e solo se il reticolo dei sottogruppi di tale gruppo è modulare.
2)So che i sottogruppi normali sono modulari (unica ipotesi di cui sono a conoscenza)
3) Dimostrare che anche i sottogruppi virtualmente normali sono modulari
4) Ho verificato che un sottogruppo normale di un gruppo G è virtualmente normale in G ossia ha un numero finito di coniugati in G. Dunque ho pensato che il fatto che anche i sottogruppi virtualmente normali sono modulari è conseguenza del fatto che un sottogruppo normale di un gruppo G è virtualmente normale e che i sottogruppi normali di un gruppo sono modulari..
Grazie mille

Non si capisce.

Vuoi dimostrare una delle seguenti due cose? Se sì quale?

1. Se i sottogruppi normali di G sono modulari (cioè hanno il reticolo dei sottogruppi modulare) allora i sottogruppi virtualmente normali di G sono modulari (cioè hanno il reticolo dei sottogruppi modulare).

2. Se il reticolo dei sottogruppi normali di G è modulare allora il reticolo dei sottogruppi virtualmente normali di G è modulare.

Se nessuna delle due, cosa vuoi dimostrare?

Aiuterebbe moltissimo se tu ci dessi un link alle dispense o il nome del libro che stai seguendo. Ti avviso soltanto che veramente non capisco quasi niente di quello che scrivi. Per esempio dici "So che i sottogruppi normali sono modulari (unica ipotesi di cui sono a conoscenza)". Questa è un'ipotesi o un risultato che hai dimostrato?

Dimostrare che i sottogruppi virtualmente normali di un gruppo sono modulari (sapendo che i sottogruppi normali di un gruppo sono modulari).
Non ho nè il link nè il libro, mi dispiace
Ho dimostrato che i sottogruppi normali sono modulari. Chiedo scusa, per "unica ipotesi di cui sono a conoscenza" intendevo dire unico risultato dimostrato e unica ipotesi che ho
Grazie

Scusa ma quando dici "sottogruppo modulare" intendi modulare nel reticolo dei sottogruppi di G? (Come spiegato qui).

Inoltre quale delle due cose che ho scritto vuoi dimostrare?

Credo di aver capito cosa intendi...

Devi dimostrare che ogni sottogruppo virtualmente normale di G è modulare.

Tu asserisci che tutti i sottogruppi normali (quindi virtualmente normali perché normalità => virtuale normalità) sono modulari ma questo non ti fa concludere che lo siano anche i sottogruppi virtualmente normali perché possono esserci sottogruppi virtualmente normali che non sono normali.

Sì dan su quello siamo d'accordo, ma ci sono tantissime definizioni e non capisco quale stia essendo usata.

Sottogruppo modulare =

Modulare in quanto elemento del reticolo dei sottogruppi (come da link wiki che ho messo sopra) - osservo che quando si dice che i sottogruppi normali sono modulari secondo me ci si riferisce a questa definizione.

Oppure

Modulare in quanto elemento del reticolo dei sottogruppi normali

oppure

Modulare in quanto elemento del reticolo dei sottogruppi virtualmente normali

Oppure

Sottogruppo che in quanto gruppo è modulare (cioè ha reticolo dei sottogruppi modulare)

Inoltre aiuterebbe sapere se alcune di queste definizioni coincidono tra loro.