Numero di elementi di ordine n nel gruppo simmetrico Sn.

[Danyzzz]

Ciao a tutti ragazzi,

Su una traccia passata d'esame ho trovato questo quesito:
• Calcolare il numero di elementi di ordine 6 nel gruppo simmetrico S6.

Con la relativa soluzione:
• Gli elementi di ordine 6 sono i 6-cicli e i prodotti di un 3-ciclo e una trasposizione disgiunti.
Procedendo come fatto a lezione più volte, si vede che i 6-cicli sono 5! = 120, mentre i prodotti
disgiunti di 3-cicli e trasposizioni sono 15 · 4 · 2! = 120. In totale, abbiamo 240 elementi di ordine
6 in S6.

C'è qualcuno che potrebbe spiegarmelo in modo discorsivo? Queste informazioni che trovo nella soluzione non mi sono chiare...
• A) si vede che i 6-cicli sono 5! = 120.
• B) Gli elementi di ordine 6 sono i 6-cicli e i prodotti di un 3-ciclo e una trasposizione disgiunti.
• C) I prodotti disgiunti di 3-cicli e trasposizioni sono 15 · 4 · 2!

Grazie a tutti

[vict85]

Per il punto (A), si può considerare il valore \(1\) come punto di partenza del ciclo. Il ciclo può mandare 1 in 5 diversi valori. Una volta fissato questo valore, ci sono 4 diversi possibili valori in cui questo valore può essere mandato... e così via.

Per il punto (B), dovresti fare mente locale sulla teoria. Conosci il legame tra scomposizione in cicli disgiunti e ordine della permutazione?

Per il punto (C), segui la traccia che ho usato per (A).

[Danyzzz]

Grazie per avermi risposto

A) ok mi è chiaro
B) Credo che si stia riferendo quindi ad un prodotto tra un 3-ciclo e un 2-ciclo (trasposizione), è cosi?
C) Non riesco a seguirti...forse c'è qulche formula da conoscere?

[vict85]

Si fa riferimento alle permutazioni del tipo \(\displaystyle (abc)(de) \) . Per esempio, alcune di queste permutazioni sono:
\(\displaystyle (123)(45) \)
\(\displaystyle (132)(45) \)
\(\displaystyle (123)(46) \)
\(\displaystyle (132)(46) \)
\(\displaystyle (123)(56) \)
\(\displaystyle (132)(56) \)

[Danyzzz]

Ho l'esame domani pomeriggio spero che capire il ragionamento...
Invce come fa dire che "I prodotti disgiunti di 3-cicli e trasposizioni sono 15 · 4 · 2!" ?

Grazie

[vict85]

Oggi pomeriggio non ci sarò io a suggerirti, dovresti cercare di ragionare sul problema piuttosto che cercare risposte.
Ti darò un aiuto, ma devi essere tu a finire: per ogni 3-ciclo, hai solo 3 trasposizioni disgiunte da lui. In questo caso, le si conta notando che ogni trasposizione disgiunta lascia un solo elemento fisso quando moltiplicata per il 3-ciclo.