Aiuto algebra astratta

[xandrew93]

Buonasera, ho gia chiesto questa domanda ma non ho ancora capito come procedere.
Ho messo in pausa la matematica discreta per qualche giorno per passare l'esame di Analisi.
La domanda in matematica del discreto, era

So che l'esercizio e' banale ma sono due giorni che non riesco a capirlo e ho provato a cercare esempi simili ma niente, tutti gli altri sono del tipo "L'operazione x # y = 2 + y su N, vedere se e' relativo, simmetrico ecc" il mio esercizio e' questo :
Sia # l'operazione su R definita da x # y = y . Dire, giustificando la risposta se l'operazione # e' associativa, commutativa e ha elemento neutro.

So che devo dimostrare che a # ( c # d ) = (a # c) # d e che a # b = b # a , ma non ho idea di come partire, qualsiasi aiuto sarebbe gradito. Grazie

Come gia detto, so che l'esercizio e' banale ed e' proprio questo che mi fa arrabiare, ho passato analisi senza problemi ma quando si tratta di provare cose e logica non so come procedere o forse sono troppo stanco.

Ho questo esercizio come un'altro esempio, non capisco da dove arriva il +1 nel secondo step dove passo da $ (ab+1)#c $ a $ (ab+1)c+1 $







Comunque sia, di solito in classe le prove erano semplici tipo x # y su R quando x#y e' pari o multiplo di 5 o cosi via, esercizi semplici, la cosa che mi fa bloccare e' il fatto che in questo esercizio non ho soltanto x # y ma x # y = y , e qui non ho veramente idea di come andare avanti, ha gia risposto un'altra persona e ho capito come provare che non ha l'elemento neutro, sostituendo $ e=y $ e facendo cosi $x#e=e ≠ x $ quindi non ha l'elemento neutro, ma per associativita e commutativita, quel =y mi blocca e non so come procedere, avevo capito altri argomenti come gruppi, anelli, campi, e spazi vettoriali, ovviamente non bene perche' per fare gli esercizi ho appunto bisogno di questi esercizi sulla logica...
Posso avere degli esempi magari con numeri, cosi magari capisco la logica, come procedere.. ecc

Grazie mille

Ho provato a risolvere l'associativita basandomi su altri esempi di esercizi che ho svolto e ho questo risultato
ho usato a,b,c al posto di x,y,z

quindi

$ a#b = b $ => $ (a#b)#c = a#(b#c) $
di conseguenza
(a#b) essendo b, sostituisco $ (a#b)#c $ con $ b#c $ e i termini in ordine equivalgono a $ a=b $ e $ b = c$ , a me serve solo b perche' $ a#b=b $ quindi $ b=c $

poi

$ a # ( b # c ) = a # c $ quindi $ a = a $ e $ b = c $ , a me serve b, quindi $ b = c $ e il risultato e' $ c $

quindi

$ ( a # b ) # c = a # ( b # c ) $ perche' c = c

E' giusto ?

[@melia]

$x#y=y$ quando operi tra due elementi ti resta solo il secondo
Non è commutativa perché $y#x=x$
È associativa perché $x#(y#z)=x#z=z$ e anche $(x#y)#z=y#z=z$

$a#b=ab+1$ devi fare il prodotto tra i due operatori e poi aggiungere 1
$(a#b)#c=(ab+1)#c=(ab+1)*c+1= abc+c+1$
$a#(b#c)=a#(bc+1)=a*(bc+1)+1= abc+a+1$

[xandrew93]

Ok adesso in questo caso ho capito, ma come hai fatto a dedurre che "operando tra due elementi rimane solo il secondo", cioe' io nella mia testa non avrei mai pensato a questo, stavo cercando invece di cercare una logica strana su come inserire dei numeri e ottenere delle cose vere o false. Come si chiama l'argomento che dovrei approfondire meglio per capire questo ? Non so se mi spiego...
In pratica io non avrei mai pensato da staccarmi dai numeri e guardare che tra x e y, x essendo il primo e y il secondo, mi rimane solo y, che e' il secondo.
Grazie

[marco2132k]

Ok adesso in questo caso ho capito, ma come hai fatto a dedurre che "operando tra due elementi rimane solo il secondo", cioe' io nella mia testa non avrei mai pensato a questo, stavo cercando invece di cercare una logica strana su come inserire dei numeri e ottenere delle cose vere o false. Come si chiama l'argomento che dovrei approfondire meglio per capire questo ? Non so se mi spiego...
In pratica io non avrei mai pensato da staccarmi dai numeri e guardare che tra x e y, x essendo il primo e y il secondo, mi rimane solo y, che e' il secondo.
Grazie

Due risposte ti sono già state date qui.

[Indrjo Dedej]

Bhé, si tratta di imparare a leggere ciò che c'è scritto. E questo è forse più vero in matematica. È un processo difficile ma ce la si fa. Cosa c'è scritto qui \[x \# y = y \quad ?\] C'è scritto che \(\#\) è una operazione (stiamo parlando di algebra, no?) che all'oggetto \((x,y)\) associa la sua seconda componente, cioè \(y\). Punto. Questo dovrebbe bastarti per studiare le proprietà del magma in esame.
Per quanto riguarda gli esempi numerici, non me ne vengono in mente. E se ne avessi non te li proporrei: essenzialmente perché limiti la tua prospettiva e depotenzi un po' l'algebra (non ho niente contro di te o contro i numeri, eh ) usandola per trattare solo casi numerici. Mentre avrebbe più senso "imparare a leggere" e entrare nell'ottica strutturalista dell'algebra.

[xandrew93]

Bhé, si tratta di imparare a leggere ciò che c'è scritto. E questo è forse più vero in matematica. È un processo difficile ma ce la si fa. Cosa c'è scritto qui \[x \# y = y \quad ?\] C'è scritto che \(\#\) è una operazione (stiamo parlando di algebra, no?) che all'oggetto \((x,y)\) associa la sua seconda componente, cioè \(y\). Punto. Questo dovrebbe bastarti per studiare le proprietà del magma in esame.
Per quanto riguarda gli esempi numerici, non me ne vengono in mente. E se ne avessi non te li proporrei: essenzialmente perché limiti la tua prospettiva e depotenzi un po' l'algebra (non ho niente contro di te o contro i numeri, eh ) usandola per trattare solo casi numerici. Mentre avrebbe più senso "imparare a leggere" e entrare nell'ottica strutturalista dell'algebra.

Quindi praticamente dovrei separarmi dai numeri e guardare le cose piu logicamente, in questo esempio come hai detto tu abbiamo due variabili, e facendo un'operazione tra di loro mi rimane sono la seconda.
Se fosse stato x#y e' un multiplo di 5, dovrei procedere dicendo che x#y = 5(x#y) e se voglio per esempio vedere se e' commutativa devo dire x#y = y#x quindi 5(x#y) = 5(y#x) o mi sbaglio ?
Un'altro esempio sarebbe x#y = xy+2x+3 , che sarebbe per la commutativita : x#y = y#x -> xy+2x+3 = yx+2y+3 o sbaglio ?
Grazie

Ok adesso in questo caso ho capito, ma come hai fatto a dedurre che "operando tra due elementi rimane solo il secondo", cioe' io nella mia testa non avrei mai pensato a questo, stavo cercando invece di cercare una logica strana su come inserire dei numeri e ottenere delle cose vere o false. Come si chiama l'argomento che dovrei approfondire meglio per capire questo ? Non so se mi spiego...
In pratica io non avrei mai pensato da staccarmi dai numeri e guardare che tra x e y, x essendo il primo e y il secondo, mi rimane solo y, che e' il secondo.
Grazie

Due risposte ti sono già state date qui.

Si avevo gia letto e provato a capire ma in 2 settimane non sono riuscito (anche perche' studiavo anche analisi matematica ma la non ho mai trovato questi esercizi), vi ringrazio tutti comunque, penso di aver capito, se quello che ho detto sopra e' giusto.