Buonasera. Dato il seguente "esercizio": Se un gruppo G è prodotto diretto di una famiglia infinita di gruppi non abeliani e finiti, allora il centro di G ha Ordine finito.
Io ho fatto un procedimento per assurdo e quindi ho supposto per assurdo che il centro di G avesse ordine infinito. Dunque (per definizione di centro di un gruppo) ciò vorrebbe dire che esisterebbero infiniti elementi di G permutabili con ogni elemento di G. Poichè G è prodotto diretto di una famigllia infinita di gruppi allora per definizione di prodotto diretto avremmo che G è generato da tale famiglia infinita di gruppi e quindi tra gli infiniti elementi di G che ho menzionato sopra ossia tra gli infiniti elementi di G permutabili con ogni elemento di G, ci sarebbero elementi appartenenti ai gruppi finiti non abeliani che costituiscono per ipotesi il prodotto diretto. Ma questi gruppi sono non abeliani e quindi gli elementi di ciascuno di tali gruppi non permutano. Pertanto si giunge ad un assurdo, e dunque dall'assurdo segue che il centro di G ha ordine finito. Secondo voi va bene?
vi ringrazio