Ordine del centro di un gruppo che è prodotto diretto di famiglia infinita gruppi non abeliani

[gi88]

Buonasera. Dato il seguente "esercizio": Se un gruppo G è prodotto diretto di una famiglia infinita di gruppi non abeliani e finiti, allora il centro di G ha Ordine finito.
Io ho fatto un procedimento per assurdo e quindi ho supposto per assurdo che il centro di G avesse ordine infinito. Dunque (per definizione di centro di un gruppo) ciò vorrebbe dire che esisterebbero infiniti elementi di G permutabili con ogni elemento di G. Poichè G è prodotto diretto di una famigllia infinita di gruppi allora per definizione di prodotto diretto avremmo che G è generato da tale famiglia infinita di gruppi e quindi tra gli infiniti elementi di G che ho menzionato sopra ossia tra gli infiniti elementi di G permutabili con ogni elemento di G, ci sarebbero elementi appartenenti ai gruppi finiti non abeliani che costituiscono per ipotesi il prodotto diretto. Ma questi gruppi sono non abeliani e quindi gli elementi di ciascuno di tali gruppi non permutano. Pertanto si giunge ad un assurdo, e dunque dall'assurdo segue che il centro di G ha ordine finito. Secondo voi va bene?
vi ringrazio

[Martino]

Scusa ma se prendo $G=A xx B$ con $A$ abeliano e $B$ non abeliano allora è chiaro che dentro al gruppo $G^{NN}$ c'è il sottogruppo $A^{NN}$, che è infinito e contenuto nel centro di $G$.

[gi88]

Nel mio caso non posso prendere A abeliano in quanto nessun gruppo della famiglia infinita è abeliano ...

[Martino]

Ma i fattori sono del tipo $A xx B$, che non è abeliano.

Se preferisci puoi prendere $G=D_8$ (gruppo diedrale di ordine 8, non è abeliano), il suo centro ha ordine $2$ quindi il centro di $G^{NN}$ è uguale a $Z(G)^{NN}$ (dove $Z(G)$ indica il centro di $G$) quindi è infinito (essendo $|Z(G)|=2$).

[gi88]

$A^NN$ è contenuto nel centro di $G^NN$.. Perchè $A^NN$ è contenuto anche nel centro di G?

[Martino]

Scusa, ho fatto un errore di battitura, intendevo il centro di $G^{NN}$.

In ogni caso il centro di un prodotto diretto $prod_i G_i$ è il prodotto dei centri $prod_i Z(G_i)$. Questo dovrebbe convincerti che in generale tale centro è infinito.

[gi88]

Ok, sì, grazie