Buonasera. Come da oggetto, data un'estensione di campi L/K, è vero che se tale estensione è finita, allora è finitamente generata? Perché a me hanno fornito questa dimostrazione, che mi sembra corretta. La ragione per cui lo chiedo è solo che nessuno mi ha citato questa cosa nei vari corsi di algebra, nonostante mi sembri una cosa importante. Ecco la dimostrazione:
Prendiamo un elemento a1 in L-K, e consideriamo K(a1). L'elemento a1 non è in K, perciò K(a1) ha su K dimensione almeno 2. Prendiamo un elemento a2 in L-K(a1),poi un elemento a3 in L-K(a1,a2) e così via. Per la formula del grado, abbiamo che [L:K] =[L:K(a1,a2,...,an)][K(a1,a2,...,an):K(a1,a2,...,an-1)]...[K(a1,a2,a3):K(a1,a2)] [K(a1,a2):K(a1)] [K(a1):K]
Poiché il grado di L/K è finito, necessariamente abbiamo un numero finito di generatori, cvd