Cardinalità di Insiemi

[anti-spells]

Salve a tutti, ho un piccolo problema con un facile (ma non per me) esercizio di Algebra 1.
Dati $A,B,C$ insiemi finiti, indico con $|A| = Card(A)$ . Devo provare che $|AuuBuuC | = |A| + |B| + |C| - |AnnB| - |AnnC| - |BnnC| + |AnnBnnC|$ , dopo aver provato che $|AuuB| = |A| + |B| - |AnnB|$

Io ho supposto vera la seconda e l'ho usata per dimostrare che:

$|AuuBuuC| = |(AuuB)uuC| = |AuuB| + |C| - |(AuuB)nnC| = |A| + |B| - |AnnB| + |C| - (|AnnC| + |BnnC| - |(AnnC)nn(BnnC)|)
= |A| + |B| + |C| - |AnnB| - |AnnC| - |BnnC| + |(AnnB)nn(BnnC)| = |A| + |B| + |C| - |AnnB| - |AnnC| - |BnnC| + |AnnBnnC|$

Solo che non so come dimostrarla nel caso di due insiemi, ho provato in questo modo ma non sono per niente convinto:

Sia $|AnnB| = n , con n in NN$ , allora:
$|A| = |A-B| + n , |B| = |B-A| + n| ...$ ma non arrivo a nulla. ( A-B sarebbe A \ B ). Forse mi sto complicando la vita per niente

[Livius]

Per dimostrare la seconda, farei così : siccome $AuuB= (A\setminus(AnnB))uu(B\setminus(AnnB))uu(AnnB)$ sono tre unioni disgiunte(quelle del secondo membro), allora $|AuuB|=|A\setminus(AnnB)|+|B\setminus(AnnB)|+|AnnB|$ ed essendo $|A\setminus(AnnB)|=|A|-|AnnB|$, $|B\setminus(AnnB)|=|B|-|AnnB|$;
allora effettuando la somma data dalla prima uguaglianza cardinale con i sostituti, si ha la tesi.

[anti-spells]

Grazie, pensavo che fosse una cosa più immediata invece era da usare qualche trucchetto