Teorema di Sylow

Messaggioda milos144 » 11/10/2018, 09:04

Vi chiedo un aiuto, sto guardando i teoremi di Sylow e sto cercando a piccoli passi di capirli.
Ebbene, se io ho un gruppo $G$ di ordine $39$ in base ai teoremi di Sylow
essendo $39 = 3*13$ io trovo che
$13-Sylow$ è congruo a $1 mod 13$ e divide $3$, quindi c'è un unico $13$-sottogruppo di Sylow, $A$ che è normale in $G$. 
Mentre il numero dei $3-Sylow$ è congruo a$ 1 mod 3$  e divide $13$, quindi può essere 1 o 13. Nel caso fosse $1$ esisterebbe un unico 3-Sylow $B $ normale in G. Quindi $G≅T×S ⇒ G$ è abeliano e prodotto di ciclici quindi è ciclico. 
Il mio problema é: se $G = Z_39$ io so giá che é ciclico, ma non so come devo trovare
il $13-Sylow$ cioé il sottogruppo di ordine $13$ che risulta essere normale e il $3-Sylow$ cioé il
sottogruppo di ordine $3$ che risulta anch'esso essere normale.
Grazie in anticipo,
milos144
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Re: Teorema di Sylow

Messaggioda milos144 » 15/10/2018, 13:39

Se qualcuno mi da una mano, mi farebbe un gran piacere.
Comunque trazie
milos144
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Re: Teorema di Sylow

Messaggioda Reyzet » 16/10/2018, 07:13

Attenzione che il prodotto diretto di ciclici è ciclico se e solo se gli ordini sono coprimi, in questo caso si.
In pratica vuoi determinare esplicitamente i due sottogruppi?
Basta cercare un elemento di ordine 13 (la classe di 3 va bene) e uno di ordine 3 (la classe di 13 va bene) in $Z_{39}$, e considerare i sottogruppi (ciclici e unici) generati da loro, che poi sono proprio i gruppi che danno luogo al prodotto diretto.
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Re: Teorema di Sylow

Messaggioda francicko » 16/10/2018, 07:48

E da molto tempo che non tratto algebra, quindi sono molto arrugginito, ma non capisco quale è la tua difficoltà, il ragionamento che hai proposto mi sembra corretto,$Z_(39)$, è ciclico e risulta $Z_(39)=Z_(13)×Z_(3)$ , dove $Z_(13)$ generato da $[3]$ è il gruppo ciclico di ordine $13$, ed $Z_(3)$ è l'altro gruppo ciclico generato da$[13]$ di ordine $3$, essi sono ovviamente unici. Questo nel caso che nel caso $3- sylow$ risulti unico.
Nel caso che i $3- sylow$ sono in numero di $13$ allora nessuno dei $3-sylow$ potrà essere normale in quanto $G$ risulterebbe ciclico e quindi avrebbe un unico $3- sylow$ in contrasto con Sylow.
In tal caso si otterrà un unico gruppo non abeliano, che risulterà prodotto semidiretto tra l'unico $13-sylow$ ed uno qualsiasi dei $3-sylow$.
Più in generale si ha che se $o(G)=pq$ e $p$, $q$, primi distinti con $p<q$, dimostrare che:

1) Se $p$ non divide $q-1$, allora $G$ è ciclico.

2) Se $p$ divide $q-1$, allora esiste un solo gruppo non abeliano di ordine $pq$;
Questo problema è tratto dall'Herstein e se non ricordo male ne ho proposto una soluzione proprio su questo forum , prova a cercare.
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Re: Teorema di Sylow

Messaggioda milos144 » 16/10/2018, 08:49

Grazie intanto per l'aiuto....vado a piccoli passi per non avere dubbi.
Nel mio caso ho considerato $Z_39$ che so giá che é ciclico. Poi tu dici:

più in generale si ha che se $o(G)=pq$ e p, q, primi distinti con p<q, dimostrare che:

1) Se p non divide $q−1$, allora G è ciclico.

2) Se p divide $q−1$, allora esiste un solo gruppo non abeliano di ordine $pq$;

Nel punto $2$ (perché si dice che non é abeliano)? Se io considero $Z_39$ essendo $39= 3 *13$, se $p=3$ é $q=13$ allora $p | q-1$
cioé $3 | 13-1$
Sicuramente sto facendo confusione.
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Re: Teorema di Sylow

Messaggioda francicko » 16/10/2018, 09:13

Non stai facendo confusione, nel punto 2) possiamo avere due casi, uno in cui si ha un unico $q-sylow$ ed in questo caso il gruppo $G$ risulta ciclico e quindi abeliano, nell' altro caso che si può verificare avremo $q-sylow$ distinti in numero di $p$, e nessuno di questi sottogruppi può risultare normale in quanto si ricadrebbe nel caso precedente e il gruppo risulterebbe ciclico , prodotto diretto di due unici sottogruppi di ordine rispettivamente $p$ e $q$, in contraddizione col fatto che esistano esattamente $q-sylow$ in numero di $p$, nel tuo problema in numero di $13$, in tal caso si dimostra che l' unico gruppo che può esistere è un gruppo non abeliano che risulti prodotto semidiretto tra il$p-sylow$ che risulta unico in ogni caso ed uno qualsiasi dei $q-sylow$.
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Re: Teorema di Sylow

Messaggioda milos144 » 17/10/2018, 08:11

In base al punto $2$ quindi
se $G$ fosse stato diverso da $Z_39$, cioé non abeliano e non ciclico, ( in tal caso si dimostra che l' unico gruppo che può esistere è un gruppo non abeliano che risulti prodotto semidiretto tra il $p−sylow$ che risulta unico in ogni caso ed uno qualsiasi dei$ q−sylow)$ io avrei avuto, essendo il $phi(3)=2$ un gruppo non abeliano con $2*13=26$ elementi di ordine $3$ e $phi(13)=12$ elementi di ordine $13$ ai quali si aggiunge l'identitá (arrivo cosí ai$ 39$ elementi di $Z_39)$
Dico bene?
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Re: Teorema di Sylow

Messaggioda milos144 » 07/11/2018, 16:01

Qualcuno, sempre cortesemente, puó controllare se quello che ho detto é giusto.
Grazie
milos144
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