Coset e congruenza.

[Lèo]

Ciao a tutti! Leggendo di algebra sono rimasto un po' confuso dalla relazione tra il concetto di coset (classe laterale? Non sono sicuro di come si dica in italiano) e quello di classi di congruenza modulo $n$.

Riporto la mia definizione: un coset (sinistro) di un sottogruppo \(\displaystyle H\subset G \), fissato \(\displaystyle a\in G \), è il sottoinsieme degli \(\displaystyle ah \), al variare di \(\displaystyle h\in H \). In notazione additiva, che è quella usata in questo caso, il coset è \(\displaystyle a+H=\{a+h:h\in H\} \).

La relazione di congruenza rispetto a un sottogruppo $H$ identifica due elementi \(\displaystyle a,b\in G \) se \(\displaystyle b=ah \) per qualche \(\displaystyle h\in H \). Quindi gli elementi di un coset sono tutti congruenti tra loro, ovvero costituiscono una classe di equivalenza rispetto a tale relazione. (Quindi nella pratica questo coset lo formo prendendo tutti gli elementi del sottogruppo e facendone il prodotto con $a$; cambiando $a$ ottengo coset diversi che partizionano l'insieme.)

Il libro in seguito introduce un'altra relazione di equivalenza, la congruenza modulo $n$, dove \(\displaystyle a\equiv b \) se \(\displaystyle b=a+nk \) per\(\displaystyle k\in\mathbb{Z} \). Un intero \(\displaystyle a \) definisce quindi una classe di equivalenza \(\displaystyle \bar a=\{...a-n, a, a+n,...\} \), e si ha \(\displaystyle \bar a=\bar b \) quando uno è multiplo dell'altro. In particolare \(\displaystyle \bar 0=\{...,-n,0,n,...\}=n\mathbb{Z} \).

Adesso però dice questo: siccome \(\displaystyle n\mathbb{Z} \) è la stessa notazione che si usa per indicare un coset, per evitare di scrivere un coset come \(\displaystyle a+n\mathbb{Z} \) denoto \(\displaystyle n\mathbb{Z} \) con $H$. Allora i coset di $H$ sono gli insiemi \(\displaystyle a+H=\{a+nk : k\in\mathbb{Z}\} \).

Questo discorso sulla notazione mi ha confuso un po' le idee. Innanzitutto, se in questo caso si usa la notazione additiva \(\displaystyle a+H \), allora un coset non sarebbe denotato come \(\displaystyle n+\mathbb{Z} \), senza rischio di confusione? In ogni caso mi sembra offuscata la morale della storia. Quello che dovrei capire da questo è che ogni classe \(\displaystyle \bar a \) è un coset di \(\displaystyle \bar 0 \), ovvero si forma a partire da \(\displaystyle a+\bar 0 \)?

[spugna]

Adesso però dice questo: siccome \(\displaystyle n\mathbb{Z} \) è la stessa notazione che si usa per indicare un coset, per evitare di scrivere un coset come \(\displaystyle a+n\mathbb{Z} \) denoto \(\displaystyle n\mathbb{Z} \) con $H$. Allora i coset di $H$ sono gli insiemi \(\displaystyle a+H=\{a+nk : k\in\mathbb{Z}\} \).

In realtà questo non dovrebbe creare ambiguità se è chiaro il contesto: una classe laterale si indica con $a+H$ o con $aH$ (o eventualmente anche in altri modi) a seconda di quale sia l'operazione del gruppo. Nel tuo caso $G=ZZ$ e l'operazione è l'addizione, quindi la notazione da usare è $a+H$ indipendentemente da chi sia $H$, mentre $nZZ$ indica chiaramente un'altra cosa: è l'insieme dei multipli di $n$, che è il tuo $H$, quindi ricapitolando $a+nZZ$ è una classe laterale del sottogruppo $nZZ$, per la precisione l'insieme degli interi congrui ad $a$ modulo $n$.

[Lèo]

Va bene, ti ringrazio per la risposta. Il libro è in genere molto chiaro ma questo passaggio mi era sembrato un po' strano.