Problemi sul rivestimento e gruppo fondamentale

[Sabb]

Salve a tutti, sto preparando un esame di Topologia Differenziale (frequento un'università di fisica) e non riesco a capire alcuni risultati inseriti nel programma, vi posto direttamente i miei problemi sperando che qualche buon'anima mi chiarisca un pò le idee..


1) Dimostrare che $SU(2)$ è il rivestimento doppio di $SO(3)$.

Per questa dimostrazione ho seguito questo percorso: prima ho dimostrato che $S^3$ è isomorfo ai quaternioni unitari che a loro volta sono isomorfi a $SU(2)$, dopodiché ho dimostrato che $S^3$ è un ricoprimento di $SO(3)$, per arrivare a dimostrare che $SU(2)$ è un ricoprimento di $SO(3)$. Non ho fatto personalmente questa dimostrazione (sinceramente non ne sarei stato in grado), ma ho trovato le "parti" di questa dimostrazione in vari libri/dispense.
I risultati mi sono abbastanza chiari, il procedimento un pò meno..


2) Dimostrare che il gruppo fondamentale di $SO(3)$ è isomorfo a $\mathbb{Z}_2$.

Durante la dimostrazione precedente si arriva a scrivere $SO(3)\congS^3/(\mathbb{Z}_2)$, infatti, considerando una mappa $\rho:S^3\rightarrowSO(3)$ definita come $x \mapsto qxq^(-1)$, dove $q$ è un quaterione unitario e $x \in \mathbb{R}^3$, si dimostra che $Im(\rho) = SO(3)$, $Ker(\rho) = \mathbb{Z}_2$ e che $Im(\rho)=S^3/(Ker(\rho))$.

A questo punto mi viene da chiedere: in tutti gli esempi che ho trovato finora ho visto che se abbiamo un gruppo topologico $G$ semplicemente connesso e un suo sottogruppo normale discreto $H$ allora il gruppo quoziente $F:=G/H$ ha come ricoprimento $G$ (universale perché $G$ è semplicemente connesso) e gruppo fondamentale isomorfo ad $H$. Ovvero mi verrebbe da dire che, se $F=G/H$, allora si può definire una mappa $\phi:G\rightarrowF$ suriettiva che è un rivestimento di $F$, inoltre $F=Im(\phi)$ e $\pi_1(F)\congH=Ker(\phi)$.

Questa osservazione è vera? Sempre, con ulteriori ipotesi o in generale no? Posso concludere l'esercizio 2) scrivendo che $\pi_1(SO(3))\congIm(\rho)=\mathbb{Z}_2$?


3) Dimostrare che $SU(2)\timesSU(2)$ è il rivestimento doppio di $SO(4)$.

A differenza dei punti precedenti non ho trovato dimostrazioni per me "comprensibili", forse sarei in grado di dimostrare che $SO(4)\cong(SU(2)\timesSU(2))/(\mathbb{Z}_2)$. Se quanto detto prima fosse vero allora potrei dire che $SU(2)\timesSU(2)$ ricopre $SO(4)$ e che $\mathbb{Z}_2$ è isomorfo al gruppo fondamentale di $SO(4)$, cose effettivamente vere..


La materia è molto interessante ma anche molto astratta, non riesco a capire se sto sbagliando tutto o qualcosa ho capito bene.. Se qualcuno potesse darmi qualche conferma, indicazione, consiglio o dimostrazione alternativa per questi problemi mi sarebbe veramente di aiuto, grazie a tutti.

[killing_buddha]

Sì, certo che è vero: esiste una successione esatta corta di gruppi \[
0 \to H \to G\overset{\phi}\to F\to 0
\] e da questo (e dal fatto che questa è una successione di fibra, se $G,F$ sono gruppi topologici) ottieni che \(H\cong \pi_1(F)\cong \ker \phi\) usando un tronco della successione lunga in omotopia di questa fibrazione: esiste la successione esatta lunga di gruppi (abeliani: perché?) \[
\cdots\to\overset{\star}{\pi_1H} \to \pi_2G\to \pi_2F \to \overset{\star}{\pi_1H}\to\overset{\star}{\pi_1G}\to \pi_1F \to \pi_0H\to \overset{\star}{\pi_0G}\to \pi_0F\to 0
\] e adesso, siccome la successione è esatta e gli oggetti che ho segnato con una stella sono zero, si ha che esiste un isomorfismo $\pi_1F\cong \pi_0H$ (ora, per quale motivo $\pi_0H\cong H$?).

La parola magica è stata "discreto" (se è finito, \(\ker\phi\) lo è sempre nella topologia di sottospazio; e allora $\pi_{\ge 1}H=0$) e la seconda parola magica è "rivestimento universale", perché allora \(\pi_{\le 1}(G)=0\) e \(\pi_{\ge 2}(G)\cong \pi_{\ge 2}(F)\) (in gergo tecnico, il rivestimento universale è l'1-troncamento di Whitehead di $F$.

[killing_buddha]

E ti prego, fai altre domande su questa roba, perché qua ultimamente è un mortorio di gente che chiede qual è la derivata del coseno.

[Indrjo Dedej]

Da quanto non scrivi!

[killing_buddha]

Colpa dei niubbi!

[Sabb]

Bene, grazie! Mentre riguardo al ricoprimento? Posso dire che sotto queste ipotesi $G$ è il ricoprimento di $F$? E che $F=Im(\phi)$?

E ti prego, fai altre domande su questa roba, perché qua ultimamente è un mortorio di gente che chiede qual è la derivata del coseno.

Grazie mille, davvero La materia è veramente bella, vorrei poterci capire il più possibile, peccato che avendolo come esame da 6 crediti molti argomenti sono stati un pò "tralasciati".. Se sei/siete a conoscenza di libri/pdf/dispense in cui queste cose vengono fatte davvero bene per me è tutto oro che cola!

[Sabb]

Sì, certo che è vero: esiste una successione esatta corta di gruppi \[ 0 \to H \to G\overset{\phi}\to F\to 0 \] e da questo (e dal fatto che questa è una successione di fibra, se $ G,F $ sono gruppi topologici) ottieni che \( H\cong \pi_1(F)\cong \ker \phi \) usando un tronco della successione lunga in omotopia di questa fibrazione: esiste la successione esatta lunga di gruppi (abeliani: perché?) \[ \cdots\to\overset{\star}{\pi_1H} \to \pi_2G\to \pi_2F \to \overset{\star}{\pi_1H}\to\overset{\star}{\pi_1G}\to \pi_1F \to \pi_0H\to \overset{\star}{\pi_0G}\to \pi_0F\to 0 \] e adesso, siccome la successione è esatta e gli oggetti che ho segnato con una stella sono zero, si ha che esiste un isomorfismo $ \pi_1F\cong \pi_0H $ (ora, per quale motivo $ \pi_0H\cong H $?).

La parola magica è stata "discreto" (se è finito, \( \ker\phi \) lo è sempre nella topologia di sottospazio; e allora $ \pi_{\ge 1}H=0 $) e la seconda parola magica è "rivestimento universale", perché allora \( \pi_{\le 1}(G)=0 \) e \( \pi_{\ge 2}(G)\cong \pi_{\ge 2}(F) \) (in gergo tecnico, il rivestimento universale è l'1-troncamento di Whitehead di $ F $.

Ok, qua è un pò troppo avanzato per il mio livello attuale

[killing_buddha]

"Il" rivestimento di $F$ non esiste, ne esiste un gruppoide non contraibile (precisamente lo spazio delle fibrazioni 1-connesse sopra $F$, non so se questa terminologia è standard ma non la voglio googlare).

Più precisamente, un rivestimento universale di $F$ è una qualsiasi scelta nel tipo di omotopia 1-troncato di $F$ (cioè uno spazio 1-connesso i cui altri gruppi di omotopia sono quelli di $F$). Qualsiasi spazio che abbia questa proprietà è "un" rivestimento universale di $F$, e ti ho appena dimostrato che $G$ ce l'ha.

[killing_buddha]

Alternativamente, puoi derivare il risultato che ti interessa dal teorema fondamentale della teoria di Galois dei rivestimenti: vedi 3.3. qui.

[Sabb]

Ok, purtroppo non ho ancora i mezzi per capire fino in fondo questi passaggi, ma sono riuscito a chiarire questo problema che mi stava bloccando da un paio di giorni, grazie mille!

Alternativamente, puoi derivare il risultato che ti interessa dal teorema fondamentale della teoria di Galois dei rivestimenti: vedi 3.3. qui.

Grazie anche per questo pdf, mi sarà davvero utile!