Salve a tutti. Sto studiando l'omologia simpliciale ed è stato fatto come esempio l'esercizio sul calcolo dei gruppi di omologia di un triangolo pieno e di un triangolo vuoto; sebbene capisca il senso dei risultati, ho dei problemi a capire il procedimento per arrivarci, spero che parlandone qualcuno riesca a chiarirmi le idee.
Il primo problema che ho trovato è nella definizione delle $l$-catene. Dato un simplesso $K$, definisco il gruppo $C_l(K)$ delle $l$-catene di $K$ con coefficienti interi come l'insieme delle applicazioni $c_l : S_l(K) \rightarrow \mathbb{Z}$, dove $S_l(K)$ è l'insieme degli $l$-simplessi orientati di $K$, tali che $c_l(-\sigma^l)=-c_l(+\sigma^l)$, per ogni $\sigma^l \in S_l(K)$.
Il gruppo $C_l(K)$ è un gruppo abeliano con l'usuale somma puntuale di applicazione i cui elementi si possono esprimere nella forma $c_l = \sum_{i=1}^n \lambda^i \sigma_{i}^l$, cioè una catena è una combinazione lineare a coefficienti interi di $n$ simplessi orientati della stessa dimensione di $K$, giusto? Ma questo come si collega con il fatto che un elemento di questo gruppo è un'applicazione definita come sopra?
Al di là di questo, tramite la mappa bordo $\partial : C_{l+1}(K) \rightarrow C_l(K)$, che è l'omeomorfismo di gruppo, definisco i gruppi $Z_l(K)=\{c\in C_l(K): \partial c = 0\}$ degli $l$-cicli e $B_l(K)=\{\partial c : c \in C_{l+1}(K)\}$ degli $l$-bordi, quindi il gruppo $l$-esimo di omologia $H_l(K)={Z_l(K)}/{B_l(K)}$.
Posto un tentativo di soluzione dell'esercizio:
Dato il complesso simpliciale triangolo pieno $K=\{(T), (a), (b), (c), (A), (B), (C)\}$ e il triangolo vuoto $L=\{(a), (b), (c), (A), (B), (C)\}$, dove $a, b, c$ sono i lati e $A, B, C$ i vertici, devo calcolare i gruppi di omologia dei due. I gruppi di catene di $L$ sono (sottintendo che ci si riferisca al gruppo $\mathbb{Z}$ per i coefficienti):
$C_0(L)=Span_\mathbb{Z}\{\langleA\rangle, \langleB\rangle, \langleC\rangle\}$
$C_1(L)=Span_\mathbb{Z}\{\langlea\rangle, \langleb\rangle, \langlec\rangle\}$
$C_l(L)=\{0\}$ per ogni $l\geq2$
Gli 1-cicli sono: $c_1 \in C_1(L)$ tali che $\partial c_1=0$, dove $c_1=m_1a+m_2b+m_3c$ (ho tolto i simboli di orientamento per semplicità), cioè $m_1(B-A)+m_2(C-B)+m_3(C-A)=0$, riordinando i termini e risolvendo il sistema si trova la condizione sui coefficienti: $m_1=m_2=-m_3$, quindi $Z_1(L)=Span_\mathbb{Z}\{\langlea\rangle, \langleb\rangle, \langlec\rangle\}=\mathbb{Z}$, mentre $B_1(L)=\{0\}$, quindi $H_1(L)=\mathbb{Z}$.
Si vede anche che $H_2(L) = \{0\}$.
Non riesco tuttavia a calcolare gli 0-bordi e 0-cicli, o meglio, mi viene sempre come risultato che entrambi i gruppi sono uguali a $\mathbb{Z}$, so che è sbagliato, perchè si deve avere ovviamente che $H_0(L)=\mathbb{Z}$.
Per quanto riguarda il triangolo pieno $K$, si ha che i gruppi di catene $0$ e $1$ sono uguali al caso precedente, mentre $C_2(K) = Span_\mathbb{Z}\{\langleT\rangle\}$. Il gruppo $Z_1(K)$ è uguale a prima, ma in questo caso $B_1(K)$ non è vuoto, perchè $C_2(K)$ non è vuoto: $\partial c \in B_1(K)$ con $c=nT \in C_2(K)$. $\partial c = n(a+b+c)$, quindi $B_1(K) = Z_1(K) = \mathbb{Z}$, da cui $H_1(K)=\{0\}$.
Anche qua $H_2(K) = \{0\}$.
$H_0(K)$ è uguale a $H_0(L)$, perchè le catene di ordine $0$ e $1$ sono le stesse, ma come prima non riesco a trovare la soluzione corretta.
Qualcuno può aiutarmi? grazie a tutti