Commutatività dei gruppi di ordine $\le 5$ e classi di coniugio.

[luca69]

Sia $G={e,a_1,...,a_(n-1)}$ un gruppo. Se $a_ia_j=e$, allora $a_ia_j=a_ja_i$; se invece $a_ia_j=a_k$, allora $\exists l$ tale che $a_ja_i=a_l \Rightarrow$ $a_ia_ja_i=a_ia_l \Rightarrow$ $a_ka_i=a_ia_l \Rightarrow$ $a_l=a_i^(-1)a_ka_i$: il prodotto tra due elementi di $G$ e il prodotto ottenuto nell'ordine inverso sono elementi coniugati in $G$. Sto cercando di dimostrare il noto fatto nel titolo mediante la tesi $n \le 5 \Rightarrow |cl(a_k)|=1$, $\forall k$. È corretta questa impostazione?

Grazie

[dan95]

Allora...

I gruppi di ordine 2, 3 e 5 sono ciclici quindi abeliani. Il gruppo di ordine $4=2^2$ è abeliano perché il suo ordine è un quadrato di un primo (perché?)

[vict85]

Puoi anche "costruire" il più piccolo gruppo non-commutativo con ragionamenti semplici.

Parti con 3 elementi: \(e\), l'identità, e due elementi che non commutano tra di loro \(a\) e \(b\). Siccome vuoi il più piccolo, richiedi che il gruppo sia generato da \(a\) e \(b\). Per limitare gli elementi che commutano con i generatori poni \(a^2=e\) e \(b^2=e\). Per la condizioni di non-commutatività \(ab\neq ba\) ed è piuttosto banale che \(ab\) e \(ba\) sono diversi dai tre elementi precedenti. Per esempio, \(ab = a\) implica \(b=e\) e ragionamenti similari. Ti trovi quindi già con \(5\) elementi. E' evidente inoltre che \((ab)^2\neq e\) perché altrimenti \(abab = e \Rightarrow (aa)ba(bb) = ab\). Similmente \(abab = a \Rightarrow bab = (aa) \Rightarrow (bb)a(bb) = b(aa)b = bb\). E' evidente che l'unica opzione che non aggiunge elementi è \(abab = ba\) e \(baba = ab\). Ragioni simili portano a dire che \(aba = bab\) è un \(6\) elemento e che è di ordine \(2\).

Non è una dimostrazione vera e propria. Ma puoi estrapolarne una dimostrazione del fatto che non vi possono essere gruppi non abeliani di ordine inferiore a 5: \(e\), \(a\), \(b\), \(ab\) e \(ba\) sono distinti per ogni gruppo non-abeliano e coppia di elementi \(a\), \(b\) che non commutano tra di loro. E, per concludere, ti basta notare che \(aba\) e \(bab\) devono essere distinti dai precedenti (ma possono essere uguali tra di loro).

[luca69]

Allora...

I gruppi di ordine 2, 3 e 5 sono ciclici quindi abeliani. Il gruppo di ordine $ 4=2^2 $ è abeliano perché il suo ordine è un quadrato di un primo (perché?)

Se $|G|=p^2$, con $p$ primo, allora per Lagrange $|Z(G)|=1$, oppure $p$, oppure $p^2$. Se $|Z(G)|=p$, allora $\exists a \in C(a) \setminus Z(G)$ e quindi $C(a) \sup Z(G)=\nn_(g \in G)C(g)$, da cui $|C(a)|>p$; ma allora (Lagrange) $|C(a)|=p^2=|G|$, ossia $C(a)=G$, da cui $a \in Z(G)$: contraddizione. Se invece $|Z(G)|=1$, allora $\forall a \ne e$ risulta $C(a)<G$, e quindi (Lagrange) $|C(a)|=p^\alpha$, $\alpha=0$ oppure $1$; l'equazione delle classi di coniugio dà in tal caso $p^2=1+\sum_i p^\(beta_i)$, con $\beta_i=1$ oppure $2$: contraddizione, perché $p$ divide $p^2$ e tutti i $p^(\beta_i)$, ma non l'$1$. Ma allora rimane il solo caso $|Z(G)|=p^2=|G|$, e quindi $Z(G)=G$: $G$ quindi è abeliano.

Va bene?