Michiko ha scritto:se il sottogruppo ha periodo minore di $r$ allora il gruppo ha periodo minore di $n$
se il sottogruppo avesse ordine minore di $r/n$ allora il gruppo avrebbe ordine minore di $n$, semmai.
Il motivo è che il sottogruppo costruito con un divisore del periodo, non può avere ordine più piccolo del divisore, altrimenti il gruppo dovrebbe avere ordine minore di $n$
E' un teorema odioso, tranquillo
per l'unicità non si può concludere in quel modo, o quantomeno, non dal punto in cui sei arrivato. Però l'idea di fondo c'è bisogna sfruttare la divisione euclidea, vediamo come:
prendiamo $HleqG$ un altro sottogruppo di ordine $r$.
Essengo $G$ ciclico sarà anch'esso ciclico e si avrà $H=<g^m>$ per qualche $0leqm<n$.
Notiamo che va fatta qualche considerazione di carattere generale:
1. se l'ordine di $G$ è $1$ è chiaro che si tratta del gruppo banale che come sottogruppo ha il solo gruppo banale e quindi il teorema per questo caso è ovviamente vero.
- supposto che l'ordine $n$ di $G$ sia $>1$
2. se $r=1$ allora il sottogruppo è $<g^(n/r)> = <e>$ e chiaramente è l'unico sottogruppo di ordine $1$
3. supponiamo dunque che $r$ sia un divisore di $n$ diverso da $1$.
chiaramente non può essere $m=0$ in quanto $H$ sarebbe il gruppo banale che ha ordine $1<r$ quindi siamo nelle ipotesi in cui $0<m<n$
ora consideriamo di dividere $mr$ per $n$ ottenendo $mr=nt+r', 0leqr'<n$
è chiaro che deve essere $r'=0$ in quanto $g^(mr-nt)=(g^m)^r*(g^n)^(-t)=1*1=1$
quindi si ha che $mr-nt$ è un periodo di $g$ e per non violare ma minimalità di $n$ deve essere $r'=0$
da questo $mr=nt => mr=(n/r*r)*t => r(n/r*t-m)=0$ ed essendo $r>1$ deve essere $m=n/r*t$
questo significa che per qualche $t in ZZ$ si ha $g^m=(g^(n/r))^t$
dunque i due gruppi coincidono.