Sottogruppo ciclico di un gruppo con ordine multiplo

[Michiko]

Ah, e io non mi ero reso conto di aver detto periodo anziché ordine e non capivo la correzione. Comunque ho letto e capito tutto, ti ringrazio per le risposte!

...prendiamo $H≤G$ un altro sottogruppo di ordine r. Essendo $G$ ciclico sarà anch'esso ciclico...

Questo fra l'altro è un altro esercizio che stavo provando a fare... magari dopo lo posto per vedere com'è!

[Michiko]

Vediamo. Se \(H\subset G \) è l'identità, chiaramente \(H=[e] \) è ciclico. Suppongo quindi che \(H \) contenga almeno una delle potenze \(g^n\in G \). Tra queste, considero \(g^k \), dove \( k \) è l'esponente più piccolo. Per l'algoritmo di divisione euclidea, esistono due interi \(q,r \) tali che per ogni $n$, \(n=qk+r \), ovvero \(g^n=g^{qk}g^r \) da cui vedo che \(g^r \) è un elemento del gruppo. Ma questo, insieme al fatto che dalla divisione euclidea \(0\le r <k \), implica che \(r=0 \), ovvero \(g^n=(g^k)^q\), cioè \(\displaystyle H=[g^k] \).

[anto_zoolander]

Diciamo che l’idea c’è.

Quella supposizione che fai è in più. Perché se $x inH=> x inG => exists m inZZ:x=g^m$. Quindi ogni elemento di $H$ è del tipo $g^m$ per qualche $m inZZ$.

Quello che affermi dopo equivale a trovare $k:=min{m inNN(m>0): g^m inH}$
Ho messo $>0$ perché altrimenti quel minimo sarebbe sempre $0$, no?
L’esistenza del minimo è garantita dal buon ordinamento

Però oltre questo bisogna chiedersi se questo insieme sia non vuoto, di fatto sai che ogni elemento di $H$ è del tipo $g^m$ con $m inZZ$ ma non sai se qualche $m$ di questi sia positivo.

Basta considerare che $g^(m) in H <=> g^(-m) in H$
chiaramente se $g^m inH$ allora $g^(-m)=(g^m)^(-1)$ e visto che $H$ è gruppo, contenendo un elemento deve contenere anche il suo inverso. Quindi quell’insieme è tranquillamente non vuoto.

Da quì si può lavorare, ovvero mostrare che $H= <g^k>$

Se $x inH => x=g^t$ dividendo $t$ per $k$ si ottiene $t=kq+r,0leqr<k$

Osservando che $g^r=g^(t-kq)=g^t*(g^k)^(-q)$

Abbiamo $g^t$ che sta nel gruppo e $(g^k)^(-q)$ anche poiché $g^k$ ci sta e $(g^k)^(z)$ quindi ci sta per ogni $z$.

Essendo $r<k$ per non violare la minimalità di $k$ deve essere $r=0$ da cui $t=kq$. Significa che $x=(g^k)^q$ per qualche $q in ZZ$ e significa che $Hsubseteq<g^k>$

Chiaramente l’altra inclusione è banale in quanto $g^k inH$

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