Sottogruppo ciclico di un gruppo con ordine multiplo
Inviato: 27/10/2018, 18:55
Ciao, vorrei dimostrare questo fatto. Sia $G$ un gruppo ciclico di ordine $n$, e $r$ un intero che divide $n$. Allora $G$ contiene un unico sottogruppo ciclico di ordine $r$.
Per ipotesi, \(n=kr \) per qualche \( k\) intero. Il gruppo si scrive come \[ G=\{g^m:m\in\mathbb{Z}, -n<m<n\}=\{g^{-kr+1},...,1,...,g^{kr-1}\}.\] Esiste pertanto un intero \(s=(k-1)r \) tale che \(kr-s=r \), quindi è possibile considerare in modo univoco il sottogruppo \(H=\{g^{-r},...1,...,g^r\} \). Poiché \(g^r=g^{n/k}=(g^n)^{1/k}=1^{1/k}=1 \), \(H\) è ciclico di ordine $r$. Funziona? Grazie in anticipo!
Per ipotesi, \(n=kr \) per qualche \( k\) intero. Il gruppo si scrive come \[ G=\{g^m:m\in\mathbb{Z}, -n<m<n\}=\{g^{-kr+1},...,1,...,g^{kr-1}\}.\] Esiste pertanto un intero \(s=(k-1)r \) tale che \(kr-s=r \), quindi è possibile considerare in modo univoco il sottogruppo \(H=\{g^{-r},...1,...,g^r\} \). Poiché \(g^r=g^{n/k}=(g^n)^{1/k}=1^{1/k}=1 \), \(H\) è ciclico di ordine $r$. Funziona? Grazie in anticipo!