Sottogruppo normale e caratteristico nella sua chiusura normale

[gi88]

Buonasera. Mi trovo davanti ad un passaggio su cui sto avendo difficoltà a capirne il perchè:
Per ipotesi $H$ è un sottogruppo di un gruppo $G$ ed $H$ risulta normale nella chiusura $H^G$ di $H$ in $G$. C'è scritto che allora $H$ risulta caratteristico in $H^G$. Mi sto scervellando scervellando ma non ho trovato la soluzione..
E' noto che un sottogruppo caratteristico in un gruppo è anche normale nel gruppo, ma il viceversa non è sempre valido..
Ho ragionato sulla definizione di sottogruppo caratteristico e quindi agli automorfismi di G, ma , per trovare la soluzione mi servirebbe che l'immagine di un elemento $h$ di $H$ tramite un automorfismo $phi$ di $H^G$ sia un elemento di $H$.. In particolare sapendo che $H$ è normale in $H^G$, sappiamo che H contiene i coniugati (tramite elementi di $H^G$) di tutti i suoi elementi...
Inoltre ho pensatanche a diversi teoremi studiati, ma non sono arrivata alla soluzione .
Tanto cortesemente e gentilmente potrei avere un aiuto? Grazie

[Martino]

Mi sembra falso. Se prendi $G=A_4$ (il gruppo alterno di grado $4$, cioè il gruppo delle permutazioni pari di $4$ oggetti) e $H$ un sottogruppo di ordine $2$ allora la sua chiusura normale (che è il minimo sottogruppo normale di $G$ contenente $H$, confermi?) è il sottogruppo di Klein $K$, cioè il $2$-Sylow di $A_4$. Ma $H$ non è caratteristico in $K$, questo si vede facilmente. $K$ è isomorfo a $C_2 xx C_2$ e i gruppi abeliani elementari $G=C_p^n$ sono caratteristicamente semplici, ovvero i loro unici sottogruppi caratteristici sono ${1}$ e $G$.

Ho l'impressione che tu stia leggendo un testo e ne abbia riportato qui solo un pezzo, sarebbe meglio se riportassi tutta la dimostrazione che stai leggendo o che ci dica da che testo l'hai preso.

[gi88]

Sono degli appunti prestati, che ora non ho a disposizione.
Non so se c'è qualche errore..
Grazie mille