Semplice esercizio su gruppo ciclico

[Gary_Baldi]

Ciao, stavo facendo un esercizio facile sui gruppi ciclici:
" Se $o(a)=r$, allora $o(a^k)=((mcm(r,k))/(rk))=((rk)/(MCD(r,k)))$ "
Ho dimostrato la prima uguaglianza (per assurdo supponiamo che esista un $t<(mcm(r,k))/(rk)$ tale che $a^(kt)=e$, allora $kt$ è multiplo di $r$, perché è l'ordine di $a$, inoltre è multiplo di $k$ quindi per la definizione di mcm è multiplo di $mcm(a,b)$, assurdo perché contraddice $t<(mcm(r,k))/(rk)$.
La seconda uguaglianza l'ho dimostrata algebricamente utilizzando la $rk=mcm(r,k)MCD(r,k)$ quindi l'esercizio è perfettamente risolto.
Provavo a dimostrare $o(a^k)=(rk)/(MCD(r,k))$ per assurdo come ho fatto per l'mcm, ma purtroppo non mi viene.
Grazie, se qualcuno vorrà rispondere.