Anello dei polinomi

[mario955]

La mia domanda è: nell'anello dei polinomi nell'indeterminata x a coefficienti su un campo K vale la legge di annullamento del prodotto?

E' noto che in ogni anello $(K,+,*)$ dati due elementi $a,b in K$ si ha:
$a=0$ o $b=0=>ab=0$
In generale non vale l'implicazione inversa, a meno che l'anello sopra considerato non sia unitario e invertibile; in tal caso diciamo che in $(K,+,*)$ vale la legge di annullamento del prodotto. Voglio infatti ricordare che l'invertibilità è necessaria per poter dimostrare l'implicazione inversa; infatti supposto che $a!=0$ si ha
$b=1b=(a^(-1)a)b=a^(-1)(ab)=a^(-1)*0=0$

Ora, l'anello dei polinomi $(K[x],+,*)$ non è invertibile; ma questo non vuol dire che non si possa dimostrare la legge di annullamento del prodotto in un altro modo, e io ho trovato questo(purtroppo il mio libro di Geometria ("Introduzione ai metrodi dell'algebra lineare" di Nicola Melone)non va abbastanza a fondo riguardo questo fatto ,ed è per questo che chiedo a voi se va bene questo modo di procedere)

Siano $F(x)$ e $G(x)$ polinomi di $K[x]$ e si supponga per assurdo che sia $F(x)!=0$ e $G(x)!=0$. Allora possiamo considerare il grado di ciascuno di essi, e si ha $deg(F(x))=a>=0$ e $deg(G(x))=b>=0$, sicchè $deg(F(x))+deg((G(x))=a+b$, ma
$deg(F(x))+deg((G(x))=deg(F(x)G(x))$, e quindi deve necessariamente risultare $F(x)G(x)!=0$(giacchè il polinomio nullo non ha grado) contro l'ipotesi. Si può quindi concludere che dev'essere $F(x)=0$ o $G(x)=0$

Secondo voi può andar bene come dimostrazione?

[otta96]

La legge di annullamento dei prodotto vale in anelli integri, che sono, per definizione, anelli senza divisori dello $0$.
Si ha che un campo è un P.I.D., che è un U.F.D., che è un dominio, ovvero un anello commutativo integro.
Inoltre si può dimostrare che sa $D$ è un dominio, anche $D[x]$ lo è, quindi in particolare se $K$ è un campo su $K[x]$ vale la legge di annullamento del prodotto, che è quello che chiedevi.
La dimostrazione si fa proprio come hai fatto tu, l'unica cosa a cui bisogna stare attenti è il passaggio $deg(F(x)G(x))=deg(F(x))+deg(G(x))$, perché in generale vale solo il "$<=$". Prova a dimostrare quell'uguaglianza in $D[x]$ usando solamente che $D$ è un dominio. Inoltre prova a cercare un esempio in cui la disuguaglianza vale strettamente (ovviamente devi partire da un anello commutativo $A$ che non sia integro).