Dimostrazione di divisibilità per un numero

Messaggioda lil_lakes » 03/11/2018, 00:53

Salve, ho questi due esercizi che sono lo stesso esercizio ma con dati diversi (li metto entrambi così si può scegliere l'esercizio più veloce da risolvere):
PRIMO:
$AAninZZ$ sia $a_n=3n^26+5n^7+4n^2+2n$. Provare che gli $a_n$ sono tutti multipli di 7. Per quali valori di n sono anche multipli di 15?
SECONDO:
è vero o no che $AAninZZ$ il numero $a_n=n^9+2n^7+3n^3+4n$ è divisibile per 5? per quali valori esso NON è divisibile per 30?

Ho provato a risolvere per induzione ma non so come proseguire.
Ho provato a porre $a_n=0(mod 7)$ (o $a_n=0(mod 5)$ nel secondo) ma anche in questo caso non saprei come andare avanti.

Come dovrei fare?

Grazie in anticipo
lil_lakes
New Member
New Member
 
Messaggio: 30 di 66
Iscritto il: 23/06/2018, 16:34

Messaggioda Gi8 » 04/11/2018, 15:14

lil_lakes ha scritto:$AAninZZ$ sia $a_n=3n^26+5n^7+4n^2+2n$. Provare che gli $a_n$ sono tutti multipli di 7

Se $n$ è multiplo di $7$, si ha banalmente che $a_n$ è multiplo di $7$.
Se $n$ non è multiplo di $7$, per il piccolo teorema di Fermat abbiamo $n^6 -= 1 (mod 7)$,
quindi $a_n$ è multiplo di $7$, in quanto:
$a_n = 3n^26+5n^7+4n^2+2n = 3 n^2 *n^24 +5 n * n^6 + 4 n^2 +2n =$
$= 3 n^2 *(n^6)^4 +5 n * n^6 + 4 n^2 +2n -= 3 n^2 *(1)^4 +5 n * 1 + 4 n^2 +2n (mod 7)=$
$ = 3n^2 +5n +4n^2 +2n = 7n^2 +7 n -= 0 (mod 7)$
Gi8
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 5025 di 9559
Iscritto il: 18/02/2010, 20:20

Re: Dimostrazione di divisibilità per un numero

Messaggioda lil_lakes » 06/11/2018, 16:42

Grazie mille. Dunque per completare la seconda consegna (quella che chiede gli n che rendono $a_n$ divisibile per 15) devo calcolare gli n che rendono $a_n$ divisibile per 3 e per 5:

DIVISIBILITÁ PER 3:
per il piccolo teorema di Fermat abbiamo $n^2-=1(mod 3)$ quindi:
$a_n=3+5n+4+2n=7n+7=7(n+1)=n+1$
calcolo: $n+1-=0(mod 3) \rArr n=2(mod 3)$ quindi $a_n$ divisibile per 3 $AA n in [2]_3$

DIVISIBILITÁ PER 5:
per il piccolo teorema di Fermat abbiamo $n^4-=1(mod 5)$ quindi:
$a_n=3n^2+5n^3+4n^2+2n=5n^3+7n^2+2n=n(5n^2+7n+2)=n(5n+2)(n+1)$
calcolo: $n(5n+2)(n+1)-=0(mod 5)$ per risultare vera almeno uno dei 3 fattori deve risultare congruente a $0(mod 5)$.
$n-=0(mod 5) $vera$ AA n in [0]_5$
$5n+2-=0(mod 5)\rArr 2-=0(mod 5)$ sempre falsa quindi mai divisibile per 5
$n+1-=0(mod 5)\rArr n-=4(mod 5) $vera$ AA n in [4]_5$

QUINDI:
per rendere $a_n$ divisibile per 15, $n in {[2]_3 nn [0]_5} vv n in {[2]_3 nn [4]_5}$
per calcolare precisamente questi n devo porre a sistema
$\{(n=2(mod 3)),(n=0(mod 5)):}$ $\{(n=2(mod 3)),(n=4(mod 5)):}$
le soluzioni di questi sistemi saranno le formule per calcolare tutti gli n che rendono $a_n$ divisibile per 15

i risultati dei sistemi, se ho fatto bene i conti, dovrebbero essere $5 (mod 15)$ e $3 (mod 15)$ il che vuol dire che:
$a_n$ è divisibile per 15 $AA n in [3]_15$ e $AA n in [5]_15$

è corretto?
lil_lakes
New Member
New Member
 
Messaggio: 31 di 66
Iscritto il: 23/06/2018, 16:34

Messaggioda Gi8 » 21/11/2018, 19:05

Perdona il ritardo nella risposta :-)

lil_lakes ha scritto:DIVISIBILITÁ PER 3:
per il piccolo teorema di Fermat abbiamo $n^2-=1(mod 3)$ ...

Questo se $n$ è non multiplo di $3$.
Banalmente, comunque, se $n$ è multiplo di $3$ anche $a_n$ lo è.

lil_lakes ha scritto:...$ a_n $ divisibile per 3 $ AA n in [2]_3 $

Per quanto detto prima, $a_n$ divisibile per $3$ se $n-= 0 (mod 3) vv n-= 2 (mod 3)$.

lil_lakes ha scritto:DIVISIBILITÁ PER 5:
...
vera$ AA n in [4]_5 $

Identico a prima: $a_n$ divisibile per $5$ se $n-= 0 (mod 5) vv n-= 4 (mod 5)$.
Quindi ci sono quattro casi da considerare:
1) ${(n-=0 (mod 3)),(n-=0 (mod 5)):} => n-= 0 (mod 15)$
2) ${(n-=2 (mod 3)),(n-=0 (mod 5)):} => n-= 5 (mod 15)$
3) ${(n-=0 (mod 3)),(n-=4 (mod 5)):} => n-= 9 (mod 15)$
4) ${(n-=2 (mod 3)),(n-=4 (mod 5)):} => n-=14 (mod 15)$
Gi8
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 5028 di 9559
Iscritto il: 18/02/2010, 20:20


Torna a Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 1 ospite