Equazioni congruenziali

Messaggioda luca69 » 05/11/2018, 21:27

Ciao,

so (teorema di Wilson) che, se $p$ è un primo, allora $p$ non divide $(p-1)!$. Mi interesserebbe sapere se si può dire qualcosa sulle equazioni congruenziali $(p^2-1)!\equiv x \mod p^2$ e $(p^2-1)!\equiv x \mod p$, o almeno che debba risultare $x \ne 0$. Potete aiutarmi?

Grazie
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Re: Equazioni congruenziali

Messaggioda dan95 » 05/11/2018, 22:56

Mi pare banale... $p^2-1>p$ per ogni primo $p$ quindi?
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Re: Equazioni congruenziali

Messaggioda luca69 » 06/11/2018, 00:11

Quindi $p^2-p>1$ è uno dei fattori di $(p^2-1)!$ e chiaramente è divisibile per $p$... Mi puoi dare un indizio anche per la divisibilità per $p^2$?
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Re: Equazioni congruenziali

Messaggioda luca69 » 06/11/2018, 12:13

Effettivamente la questione che ho posto non ha molto senso... Per ogni intero $n>2$ vale $n^2-2n-1>0$, per cui $1<n<2n<n^2-1$: è chiaro quindi che sia $n$ che $2n$ sono fattori di $(n^2-1)!$, che pertanto è divisibile per $n^2$ (e quindi per $n$), e i numeri primi non c'entrano granchè. il caso $n=2$ poi si verifica direttamente. È giusto?
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Re: Equazioni congruenziali

Messaggioda dan95 » 06/11/2018, 12:16

Sì esatto la questione diventa più interessante se si vuole trovare il più piccolo $n$ tale che $p^n$ non divide $(p^2-1)!$ e risolvere $(p^2-1)! \equiv x \mod p^n$
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Re: Equazioni congruenziali

Messaggioda luca69 » 06/11/2018, 12:18

Ci penserò. Intanto ti ringrazio per lo spunto.

Ciao
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Re: Equazioni congruenziali

Messaggioda luca69 » 11/11/2018, 20:54

dan95 ha scritto:Sì esatto la questione diventa più interessante se si vuole trovare il più piccolo $ n $ tale che $ p^n $ non divide $ (p^2-1)! $ e risolvere $ (p^2-1)! \equiv x \mod p^n $

Sarei interessato proprio alla questione che hai posto. Potresti dirmi di più al riguardo? Grazie
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Re: Equazioni congruenziali

Messaggioda Stickelberger » 25/11/2018, 17:10

Sia $m$ un numero naturale e sia $p$ un primo. Allora la valutazione $p$-adica
di $m!$ e' data da $\sum_{k\ge 1}[m/p^k]$. Qua $[\alpha]$ indica la parte intera di $\alpha\in RR$.

Si ha quindi che $n=p$ (nella notazione di @dan95).
Il calcolo di $x$ lascio a voi :) .
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