Morfismi negli oggetti di $mathbf(Mon)$

[Michiko]

Un monoide è un insieme $M$ dotato di un'operazione binaria associativa \(\circ: M\times M\to M \) con un elemento neutro \(\displaystyle u_M \).

Affermazione: un monoide è una categoria con un solo oggetto, i cui morfismi sono gli elementi del monoide. I monoidi con i loro omomorfismi costituiscono quindi una categoria concreta \(\mathbf{Mon}\). Stessa cosa in \(\mathbf{Group}\): ogni oggetto è un gruppo in cui ogni freccia è un isomorfismo.

Che un monoide costituisca una categoria con un solo oggetto, sono d'accordo; tuttavia - forse perché ho ancora un'idea ingenua di morfismo - non capisco l'identificazione morfismo-elemento. Insomma, in parole povere, se un morfismo è una freccia, da dove a dove sta puntando? Capito questo il passaggio ai gruppi è facile, dato che ogni elemento \(\displaystyle g \) ammette inverso \(\displaystyle g^{-1} \).

[otta96]

Non sono un esperto di queste cose ma penso che per unico oggetti si intenda l'elemento neutro $e$ e i morfismi sono frecce che puntano da $e$ agli elementi del monoide (identificandole proprio con questi ultimi) e la composizione è puntare verso il prodotto degli elementi verso cui puntavano i morfismi. A questo punto l'identità sarà la freccia che punta in $e$ e la composizione è associativa.

[Euclidino]

Un monoide M è una categoria con un solo oggetto : l'oggetto è M.

I cui morfismi sono gli elementi del monoide : un elemento $x$ è une freccia da M in M. La composizione delle freccie è la compositione dei elementi de M. La freccia identità è l'elemento neutro $e$.
Qui, le freccie non sono funzioni.

[otta96]

Però possono essere pensati come funzioni che ad un elemento generico associano il prodotto tra l'elemento generico e quello con cui si identifica il morfismo, o sbaglio?

[j18eos]

Io farei un po' di distinzioni, almeno all'inizio per prendere familiarità con oggetti matematici diversi!

Sia \(\displaystyle(S,\cdot)\) un insieme non vuoto, dotato di un'operazione interna associativa che ammetta un elemento neutro: questi lo chiamo semigruppo unitario.

Considero la categoria \(\displaystyle\mathbf{M}\) il cui unico oggetto è \(\displaystyle\{*\}\) e i morfismi (o freccie) di \(\displaystyle\{*\}\) in sé sono gli elementi \(\displaystyle a\) di \(\displaystyle S\), e la composizione delle frecce \(\displaystyle a\circ b\) si definisca come \(\displaystyle a\cdot b\). In tale maniera \(\displaystyle\mathbf{M}\) si chiama monoide.

Analogo discorso è possibile farlo coi gruppi \(\displaystyle(G,\cdot)\) e i gruppoidi \(\displaystyle\mathbf{G}\).

Una volta presa una certa familiarità, si potrebbe opportunamente identificare tali oggetti distinti.

[Michiko]

Grazie per le risposte! In questo caso quindi faccio prima a evitare di pensare ai morfismi come a delle frecce direttamente...

[Euclidino]

La riposta di j18eos è chiarissima.

otta96 : l'unico oggetti non pu`o essere $e$ e le freccie $e \to x$ non possono essere i morfismi, perché i morfismi sono da l'unico oggetti in l'unico ogetti.

[marco2132k]

faccio prima a evitare di pensare ai morfismi come a delle frecce direttamente

Oh yes, se per frecce intendi funzioni! Non sono sgamato in CT, però guarda questo esempio: considera un preordine \( (P,{\sqsubset}) \), e sia \( \mathbf P\) una categoria i cui oggetti sono gli elementi di \( P \) e le cui frecce sono tutte le coppie \( (p,q)\in{\sqsubset} \); se \( p\xrightarrow{f}q\xrightarrow{g}r \), definisci la composta \( gf \) come \( gf=(p,r)\in{\sqsubset} \). Queste categorie sono chiamate preordini: sono categorie, però le frecce non sono funzioni (analogo esempio potrebbe essere quello di anelli e matrici \( \mathbf{Mat}_R \)).

La relazione che c'è tra gruppi e gruppoidi è semplicemente il fatto che, perché una categoria \( {\bullet} \) sia interpretabile come un gruppo (prova a capire come, considerando quale potrebbe essere la composizione interna), è necessario che \( \operatorname{Hom}({\bullet},{\bullet})=\operatorname{Aut}({\bullet}) \).

Prova a cercarti qualche esempio concreto da dispense in giro, e guarda le risposte di chi su queste cose è ben più competente di me

[fmnq]

Un monoide M è una categoria con un solo oggetto : l'oggetto è M.

I cui morfismi sono gli elementi del monoide : un elemento $x$ è une freccia da M in M. La composizione delle freccie è la compositione dei elementi de M. La freccia identità è l'elemento neutro $e$.
Qui, le freccie non sono funzioni.

Meglio dire che la classe degli oggetti è il singoletto \(\{\text{Jean Claude Van Damme}\}\): ogni monoide $M$ definisce una categoria, detta $\mathbf{B}M$, che ha JCVD come unico oggetto, e come morfismi i vari elementi del monoide.

Il fatto che tutti gli elementi del monoide possano moltiplicarsi tra loro rispecchia il fatto che tutti i morfismi sono componibili; il fatto che esista un elemento neutro è l'assioma per cui JCVD ha un'identità; il fatto che la moltiplicazione nel monoide sia associativa rispecchia il fatto che la composizione di morfismi in $\mathbf{B}M$ è associativa, etc.