Categorie: $mathbf(C)^(op)$, $mathbf(C)//C$, $C//mathbf(C)$, $mathbf(C)^rightarrow$

Messaggioda Michiko » 09/11/2018, 14:55

La categoria \(\mathbf{C}^{\rightarrow} \) ha per oggetti le frecce di \(\mathbf{C} \) e come frecce tra $f$ e \(f' \) le coppie \(g=(g_1,g_2) \) tali che \(\displaystyle g_2\circ f=f'\circ g_1 \). Ho una domanda sui funtori di questa categoria: il testo si limita a dirmi che ne possiede due, e mi fa vedere \[\displaystyle \mathbf{C}\stackrel{\mathbf{dom}}{\longleftarrow}\mathbf{C^\rightarrow}\stackrel{\mathbf{cod}}{\longrightarrow}\mathbf{C}. \] La mia domanda: cosa sono di preciso questi due funtori? Dalla mia interpretazione, \(\mathbf{dom} \) associa a ogni oggetto \(\displaystyle f:A\to B \) di \(\mathbf{C}^{\rightarrow} \) il suo dominio \(A \) in \(\mathbf{C} \), e viceversa \(\mathbf{cod} \) vi associa il codominio $B$ in \(\mathbf{C} \). E' corretto?

Poi: una categoria slice - in italiano, si traduce in qualche modo? cercando su Internet non trovo nulla - di \(\mathbf{C} \) sull'oggetto $C$ ha come oggetti le frecce che puntano in $C$, e come freccie le \(g:(f:X\to C)\to(f':X'\to C) \) tali che \(f'\circ g=f \).

Le mie considerazioni: l'identità \(1_f \) di un oggetto \(f \) è data da \(1_X \); la composizione di due frecce \(g:f\to f'\), \(h:f'\to f''\) è data da \(h\circ g:X\to X''\) tale che \(f''\circ(h\circ g)=f \). E' giusto "bypassare" la freccia intermedia \(f'\)? (Tra parentesi: vorrei imparare a disegnare i diagrammi con \(\TeX \), ma i metodi che ho trovato online non funzionano su questo forum (o almeno io non sono in grado di farli funzionare); qualcuno ha un link a una guida veloce con qualche esempio?).

Definito il funtore \(U: \mathbf{C}/C\to \mathbf{C} \) che si dimentica dell'oggetto $C$, mi si chiede di trovare un funtore \(F:\mathbf{C}/C\to\mathbf{C}^\rightarrow \) tale che \(\mathbf{dom}\circ F=U\). Però ho dei problemi a farlo. So che un funtore manda oggetti in oggetti: gli oggetti della categoria slice sono le frecce di \(\mathbf{C} \) con un certo codominio, gli oggetti della categoria freccia sono tutte le frecce di \(\mathbf{C} \). Quindi il funtore non è "suriettivo" (si può parlare di suriettività di un funtore?) e applicando \(\mathbf{dom} \) all'immagine ottengo come oggetti i domini di tutte le frecce che puntano a $C$, quindi non necessariamente tutti gli oggetti di \(\mathbf{C} \). E' un po' contorto, spero sia chiaro ciò che intendo!

Infine: è possibile definire il concetto duale di categoria slice, ovvero la categoria coslice \(C/\mathbf{C} \) con oggetti le frecce che partono da $C$. Mi si chiede tale categoria possa essere definita in termini di \(\mathbf{C}/C \); siccome gli oggetti della categoria coslice sono l'inversione delle frecce che sono gli oggetti della categoria slice, ho pensato di poter definire \(C/\mathbf{C}=\mathbf{C}^{op}/C \). Ha senso?
Avatar utente
Michiko
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 12 di 13
Iscritto il: 25/10/2018, 23:30

Re: Categorie: $mathbf(C)^(op)$, $mathbf(C)//C$, $C//mathbf(C)$, $mathbf(C)^rightarrow$

Messaggioda fmnq » 09/11/2018, 22:41

Michiko ha scritto:La categoria \(\mathbf{C}^{\rightarrow} \) ha per oggetti le frecce di \(\mathbf{C} \) e come frecce tra \(f\) e \(f' \) le coppie \(g=(g_1,g_2) \) tali che \(\displaystyle g_2\circ f=f'\circ g_1 \). Ho una domanda sui funtori di questa categoria: il testo si limita a dirmi che ne possiede due, e mi fa vedere \[\displaystyle \mathbf{C}\stackrel{\mathbf{dom}}{\longleftarrow}\mathbf{C^\rightarrow}\stackrel{\mathbf{cod}}{\longrightarrow}\mathbf{C}. \] La mia domanda: cosa sono di preciso questi due funtori?

La loro azione su oggetti e morfismi è scritta correttamente. Ma a che livello vuoi che ti venga spiegato "cosa sono"? Perché ai diversi gradi di astrazione, lo span che hai costruito si caratterizza mediante diverse proprietà universali. Per esempio, quando \(\bf C\) ha pullback, quei funtori diventano delle fibrazioni cartesiane, e si dicono la bifibrazione fondamentale generata dalle inclusioni \(\{d_i : \{i\} \hookrightarrow\{0,1\} \mid i=0,1\}\): si tratta del diagramma

    \xymatrix{
 &{\bf C}^\to \ar[dr]^{{\bf C}^{d_1}} \ar[dl]_{{\bf C}^{d_0}}& \\
{\bf C}^{[0]} && {\bf C}^{[1]}
}

Poi: una categoria slice - in italiano, cercando su Internet non trovo nulla

La traduzione italiana del "Categories Work" la traduce come "categoria comma in \(C\)", perché le varie \({\bf C}/C\) si possono caratterizzare facilmente come dei particolari oggetti comma (vedi qui alla sezione "General form"). Il nome "fibrazione fondamentale" di prima è in effetti motivato dal fatto che lo span sorge da una costruzione tautologica, si tratta dell'oggetto comma (cioè del lax limite, che coincide in questo caso con l'oplax limite) dell'identità sull'identità:

    \xymatrix{
{\bf C}^\to \ar@{}[dr]|\Downarrow \ar[r]^{\text{cod}}\ar[d]_{\text{dom}} & {\bf C} \ar@{=}[d]\\
{\bf C} \ar@{=}[r] & {\bf C}
}

Le mie considerazioni: l'identità \(1_f \) di un oggetto \(f \) è data da \(1_X \); la composizione di due frecce \(g:f\to f'\), \(h:f'\to f''\) è data da \(h\circ g:X\to X''\) tale che \(f''\circ(h\circ g)=f \). E' giusto "bypassare" la freccia intermedia \(f'\)?

Cosa intendi per bypassare? La composizione di due morfismi \(x \xrightarrow{f} y \xrightarrow{g} z\) in \({\bf C}/C\) avviene in questo modo:

    \xymatrix{
X \ar[dr]_x \ar[r]^f & Y\ar[d]|y \ar[r]^g & Z \ar[dl]^z\\
& C 
}
ed è definita, associativa e tutto il resto perché tale è in \(\bf C\).
(Tra parentesi: vorrei imparare a disegnare i diagrammi con \(\TeX \), ma i metodi che ho trovato online non funzionano su questo forum (o almeno io non sono in grado di farli funzionare); qualcuno ha un link a una guida veloce con qualche esempio?).

Guarda il codice con cui ho disegnato questi diagrammi.
So che un funtore manda oggetti in oggetti: gli oggetti della categoria slice sono le frecce di \(\mathbf{C} \) con un certo codominio, gli oggetti della categoria freccia sono tutte le frecce di \(\mathbf{C} \). Quindi il funtore non è "suriettivo" (si può parlare di suriettività di un funtore?)

Si può, ma è complicato se non decidi cosa vuoi: un funtore non è una funzione sola, bensì una coppia di funzioni, una sugli oggetti (lo vuoi suriettivo lì?), una sui morfismi (lo vuoi suriettivo lì?). Poi, molto spesso non è necessario che sia strettamente suriettivo; ti basta che lo sia essenzialmente, cioè che ogni oggetto \(A\) del suo codominio sia isomorfo a un oggetto nella sua immagine (cioè che esista qualche isomorfismo \(A \cong FX\) per qualche \(X\)). C'è poi il fatto che gli epimorfismi in $\mathbf{Cat}$, cioè i funtori $F$ che cancellano a destra, hanno una caratterizzazione molto ingombrante.

Infine: è possibile definire il concetto duale di categoria slice, ovvero la categoria coslice \(C/\mathbf{C} \) con oggetti le frecce che partono da \(C\). Mi si chiede tale categoria possa essere definita in termini di \(\mathbf{C}/C \); siccome gli oggetti della categoria coslice sono l'inversione delle frecce che sono gli oggetti della categoria slice, ho pensato di poter definire \(C/\mathbf{C}=\mathbf{C}^{op}/C \). Ha senso?

Uno di questi due isomorfismi è vero:

- \(({\bf C}^\text{op}/C)^\text{op}\cong C/{\bf C}\)
- \(({\bf C}^\text{op}/C)\cong C/{\bf C}\)

Quale dei due? Perché? Questo ti dice che comma in $C$ e cocomma in $C$ si determinano a vicenda (come del resto penso dica la pagina di Wikipedia).
Ultima modifica di fmnq il 11/11/2018, 13:53, modificato 1 volta in totale.
fmnq
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 11 di 42
Iscritto il: 03/10/2017, 23:14

Re: Categorie: $mathbf(C)^(op)$, $mathbf(C)//C$, $C//mathbf(C)$, $mathbf(C)^rightarrow$

Messaggioda Michiko » 10/11/2018, 18:06

Direi \( ({\bf C}^\text{op}/C)^\text{op}\cong C/{\bf C} \) vince; sarebbe equivalente a \( ({\bf C}^\text{op}/C)\cong (C/{\bf C})^\text{op} \), no? A quel punto mi tornano le diverse frecce, credo. Invece,\(\displaystyle \mathbf{dom} \) è definito da \(\displaystyle \mathbf{C}^\rightarrow \), quindi mi sembra giusto quello che ho scritto...
Avatar utente
Michiko
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 13 di 13
Iscritto il: 25/10/2018, 23:30

Re: Categorie: $mathbf(C)^(op)$, $mathbf(C)//C$, $C//mathbf(C)$, $mathbf(C)^rightarrow$

Messaggioda Euclidino » 11/11/2018, 11:53

Michiko ha scritto:Definito il funtore \(U: \mathbf{C}/C\to \mathbf{C} \) che si dimentica dell'oggetto $C$, mi si chiede di trovare un funtore \(F:\mathbf{C}/C\to\mathbf{C}^\rightarrow \) tale che \(\mathbf{dom}\circ F=U\).


Propongo :
Per ogni oggetto \(f \in \rm{Hom}(X,C)\) di \(\mathbf{C}/C\), \(F(f) = f\).
Per ogni morfismo \(g \in \rm{Hom}(X,X')\) di \(\mathbf{C}/C\), \(F(g) = (g,\rm{id}_C)\)
Euclidino
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 4 di 23
Iscritto il: 09/11/2018, 10:25

Re: Categorie: $mathbf(C)^(op)$, $mathbf(C)//C$, $C//mathbf(C)$, $mathbf(C)^rightarrow$

Messaggioda fmnq » 11/11/2018, 13:54

Certo, è questo che funziona (ora va dimostrato che è un funtore, etc. etc.).
fmnq
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 12 di 42
Iscritto il: 03/10/2017, 23:14


Torna a Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 2 ospiti