Potenze

[tizianoc]

Qualcuno sa darmi la dimostrazione per cui zero elevato alla potenza zero da uno ?

[Martino]

Ciao, in algebra è comune definire, dati due insiemi $A$ e $B$, la cardinalità di $A$ elevato alla cardinalità di $B$ come

$|A|^{|B|} := |A^B|$

dove $A^B$ è l'insieme delle funzioni $B to A$.

Se ti fai un esempio capisci l'idea, per esempio esistono esattamente $8$ funzioni ${1,2,3} to {1,2}$.

Ora siccome c'è un'unica funzione \( \displaystyle \emptyset \to \emptyset \) (la funzione vuota) si deduce che \( \displaystyle 0^0 = |\emptyset|^{|\emptyset|} = |\emptyset^{\emptyset}| = |\{\emptyset\}|=1 \) .

Più in generale \( \displaystyle A^{\emptyset}=\{\emptyset\} \) per ogni insieme $A$, perché la funzione vuota è l'unica funzione $emptyset to A$.

Inoltre \( \displaystyle \emptyset^A = \emptyset \) se $A ne emptyset$, perché non esistono funzioni $A to emptyset$ se $A$ non è vuoto.

[gugo82]

Aggiungo: $0^0 = 1$ dipende dal contesto.
Ad esempio, nella teoria delle funzioni elementari, al simbolo $0^0$ non si attribuisce alcun significato.
Anche nell'algebra dei limiti, $0^0$ è un caso da trattare con maggiore cautela (forma indeterminata).
Mentre, parlando di serie di potenze, assumere $0^0=1$ è necessario per snellire alcune notazioni.
Insomma, come sempre in Matematica, paese che vai...

[anto_zoolander]

Trovo che sia anche un abuso di notazione che indica l’estensione continua in $0$ della funzione $x^x$