Un tipo particolare di ideale

Messaggioda elatan » 11/11/2018, 15:58

Salve a tutti, ho delle difficoltà nel risolvere il seguente esercizio.

Un sottoinsieme $A$ di un anello $R$, $A\ne\emptyset$ è detto $\text{adeal}$ di $R$ se

$(i)$ $a,b\in A$, allora $a+b\in A$;

$(ii)$ $r\in R$, $a\in A$, allora $ar\in A$ e $ra\in A$.

Provare che

$(a)$ Un adel $A$ di $R$ è un ideale di $R$ se per ogni $a\in A$ esiste un intero $n\ne 0$, dipendente da $a$,
tale che $na\in aR+Ra$ [Questa condizione, in particolare, è soddisfatta, se $R$ possiede l'unità moltiplicativa].

$(b)$ Quando $R$ è un anello commutativo, la condizione $(a)$ è necessaria e sufficiente affinché sia un ideale.
Suggerimento: Per $a\in R$, l'insieme $A=\{na|n\in\mathbb{Z}_+\}+aR$ è un adel di $R$; dunque un ideale di $R$.

$\text{Tentativo di svolgimento}:$

$(a)$ Se $A$ è un adel, per mostrare che $A$ è un ideale, è sufficiente mostrare che se $a\in A$, allora $-a\in A$. Dunque, è sufficiente mostrare che se $a\in A$, $\existsm \ge 1$ tale che $-ma\in A$. Se $m=1$ siamo apposto e se $m>1$, allora prendiamo $(m-1)a+(-ma)=-a\in A$. Ora non so come procedere vista questa premessa. Qualcuno potrebbe darmi una mano su come procedere? :oops:

Vi ringrazio!
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Re: Un tipo particolare di ideale

Messaggioda Martino » 11/11/2018, 21:17

Io direi che $na=ar+sa$ con $r,s in R$, ora $-r in R$ quindi $a(-r) in A$ e $-s in R$ quindi $(-s)a in A$. D'altra parte è facile vedere che $a(-r)=-ar$ e $(-s)a=-sa$. Siccome $A$ è chiuso per la somma otteniamo che $A$ contiene $a(-r)+(-s)a = -ar-sa = -(ar+sa) = -na = (-n)a$.
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Re: Un tipo particolare di ideale

Messaggioda elatan » 12/11/2018, 05:56

Ciao Martino, e grazie della risposta.

Io non capisco perché $na=ar+sa$ con $r,s\in R$, cioè questo non lo abbiamo mostrato almeno a questo livello. Possiamo dire che $na\in A$ poiché $A$ è adeal e contiene le somme finite, ma per il resto?

E per il il punto $(b)$?
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Re: Un tipo particolare di ideale

Messaggioda Martino » 12/11/2018, 12:04

elatan ha scritto:Io non capisco perché $na=ar+sa$ con $r,s\in R$
È vero per ipotesi. Rileggi il punto (a).
E per il il punto $(b)$?
Che idee hai?
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Re: Un tipo particolare di ideale

Messaggioda elatan » 13/11/2018, 05:55

Si, ora ho capito come funziona per il punto $(a)$.

Al punto $(b)$ ho pensato ma sinceramente non sono riuscito a mettere insieme i pezzi. :(
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Re: Un tipo particolare di ideale

Messaggioda Martino » 13/11/2018, 10:26

Non è possibile che tu non abbia nemmeno un'idea.
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Re: Un tipo particolare di ideale

Messaggioda elatan » 13/11/2018, 18:45

Gentile Martino, ti ringrazio per la pazienza, ma a me questo esercizio l ha fatta perdere proprio. Tipo ora non capisco nemmeno perché la condizione $(a)$ è soddisfatta se $R$ possiede l'unità moltiplicativa.

Il punto $(b)$, nonostante ci abbia pensato in questa giornata non sono riuscito ad inquadrarlo, non lo so, mi dispiace :(
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