Salve a tutti,
ho trovato questo esercizio su una prova passata del mio esame di matematica discreta:
Assegnata la permutazione
$σ := ((1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14),(10, 13, 6, 1, 14, 2, 11, 12, 4, 7, 9, 5, 3, 8)) in S_14$
1) determinare il periodo di $α := σ^27797848$;
2) si dica, motivando la risposta, se $β := ((2, 7, 3))$ è o meno nel sottogruppo di $S_14$ generato da $α$ e dal 3-ciclo $((1, 2, 3))$.
Per il primo esercizio non dovrei avere problemi:
scompongo in cicli disgiunti $σ = ((1,10,7,11,9,4))((2,13,3,6))((5,14,8,12))$
il ciclo di $σ$ è quindi $m.c.m.(6,4)=12$
$27797848-=4mod 12$
quindi $α=σ^4$
se i miei calcoli sono giusti risulta
$σ^4 := ((1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14),(9, 2, 3, 11, 5, 6, 1, 8, 7, 4, 10, 12, 13, 14))$
quindi scomponendo in cicli disgiunti $σ^4 = ((1,9,7))((4,11,10))$
e quindi il periodo di $σ^4$ è $m.c.m.(3,3)=3$
Il problema nasce nella seconda richiesta perchè ci sono alcune operazioni che non capisco:
sulle dispense e sul mio libro quando si parla di generatori ci si riferisce ai sottogruppi ciclici che però sono generati da un solo elemento e non da due quindi mi ritrovo un po' spaesato.
Non ho trovato della teoria su questo in internet e mi rivolgo quindi a voi per avere delucidazioni sul da farsi.
Grazie